作业帮一道高等数学二重积分的问题,求详细解答红圈内的两步是如何转化的?请详细说明
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 23:54:33
一道高等数学二重积分的问题,求详细解答
红圈内的两步是如何转化的?请详细说明
第一步,是根据二重积分的性质：三个函数和或差的积分,等于三个函数积分的和或差；这一部应该比较好理解.
第二步：4的积分,根据二重积分的性质,等于区域面积的4倍,区域是圆,半径为1,所以面积为π,所以4的积分等于4π
x的积分,由于积分区域关于y轴对称,而这里的被积函数为x,相对于x而言是奇函数,所以根据奇偶对称性,这个积分的值为0
y的积分,由于积分区域关于y轴对称,而这里的被积函数为y,相对于x而言是偶函数,所以根据奇偶对称性,这个积分的值为在y轴右边（第一象限）部分D1积分的两倍
D1上的积分可以采用极坐标来进行处理,根据极坐标的基本处理方法,ydxdy=ρsinθ*ρ*dρdθ
区域D1在极坐标下的形式为：{（ρ,θ）|0≤θ≤π/2；0≤ρ≤2sinθ}
圆x^2+y^2=2y转化为极坐标方程即为：(ρcosθ)^2+(ρsinθ)^2=2ρsinθ
化简为：ρ^2=2ρsinθ
即：ρ=2sinθ （解ρ=0也包含在这个解里面）
xdxdy的积分是0，用对称性，区域D关于y轴对称，被积函数x是x的奇函数，所以积分是0。
ydxdy的积分先用对称性再用极坐标。D关于y轴对称，被积函数y是x的偶函数，所以积分化为第一象限内区域D1上的积分的2倍。D1上的积分用极坐标，θ从0到π/2，ρ从0到2sinθ，dxdy=ρdρdθ，被积函数y=ρsinθ。那么那个4pai 也是快速得到的吗圆的面积的4倍嘛...
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xdxdy的积分是0，用对称性，区域D关于y轴对称，被积函数x是x的奇函数，所以积分是0。
ydxdy的积分先用对称性再用极坐标。D关于y轴对称，被积函数y是x的偶函数，所以积分化为第一象限内区域D1上的积分的2倍。D1上的积分用极坐标，θ从0到π/2，ρ从0到2sinθ，dxdy=ρdρdθ，被积函数y=ρsinθ。
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希望对你有帮助。祝你学习愉快！~~
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