作业帮高数---多元函数极限在第一卦限内作椭球面 x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1的切平面,使该切平面与三坐标平面所围的四面体体积最小,求此最小体积.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 07:45:16
高数---多元函数极限
在第一卦限内作椭球面 x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1的切平面,使该切平面与三坐标平面所围的四面体体积最小,求此最小体积.
设F(x,y,z)=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1
Fx=2x/a^2,Fy=2y/b^2,Fz=2z/c^2,
假设椭圆面上的任意一点坐标为(x0,y0,z0),则
x0^2/a^2+y0^2/b^2+z0^2/c^2=1 ------(1)
该椭圆面的切平面方程应为:
(2x0/a^2)*(x-x0)+(2y0/b^2)*(y-y0)+(2z0/c^2)*(z-z0)=0,
由(1),可将上式化为:
xx0/a^2+yy0/b^2+zz0/c^2=1 -------(2)
切平面在三个坐标轴上的截距分别为:
x=a^2/x0,y=b^2/y0,z=c^2/z0.
故四面体的体积为:
V=1/6*|x||y||z|=(abc)^2 / (6x0y0z0).
最后就是求x0y0z0的最大值问题了:
由(1)可得:(bcx0)^2+(acy0)^2+(abz0)^2=(abc)^2
由均值不等式可得:
3*((abc)^4*(x0y0z0)^2)^(1/3)≤(bcx0)^2+(acy0)^2+(abz0)^2=(abc)^2
即x0y0z0≤(√3/9)|abc|,
当且仅当x0=|a|/√3,y0=|b|/√3,z0=|c|/√3时,等号成立.
则Vmin=(√3/2)|abc|.