证明不等式1+1/√2+1/√3+.+1/√n
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/31 16:27:09
证明不等式1+1/√2+1/√3+.+1/√n
放缩法
1/√n=2/2√n<2/[√n+√(n-1)]=2[√n-√(n-1)]
所以
1+1/√2+1/√3+.+1/√n<2[√1-0+√2-√1+√3-√2+.+√n-√(n-1)]
=2√n
貌似用类比推理做
此题用数学归纳法证明即可,证明如下:
(1)当n=1时,原不等式左边=1,右边=2,显然左边<右边,即n=1时,结论成立。
(2)假设n=k(k>=2),时结论1+1/√2+...+1/√k<2√k成立,则当n=k+1时,有
1+1/√2+...+1/√k+1/√(k+1)<2√k+1/(k+1)
注意到2√k+1/√(k+1)<2√(k+1)
因为上式等价...
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此题用数学归纳法证明即可,证明如下:
(1)当n=1时,原不等式左边=1,右边=2,显然左边<右边,即n=1时,结论成立。
(2)假设n=k(k>=2),时结论1+1/√2+...+1/√k<2√k成立,则当n=k+1时,有
1+1/√2+...+1/√k+1/√(k+1)<2√k+1/(k+1)
注意到2√k+1/√(k+1)<2√(k+1)
因为上式等价于2√(k^2+k)+1<2(k+1)
<=>2√(k^2+k)<2k+1
<=>4(k^2+k)<4k^2+4k+1
<=>0<1
显然成立。
于是当n=k+1时,1+1/√2+...+1/√k+1/√(k+1)<2√(k+1)成立。
综合(1)(2)两个方面,可知1+1/√2+1/√3+.....+1/√n<2√n对n∈N*,均成立。
证毕。
收起
1/√i=2/(√i+√i)<2/(√i+√i-1)
剩下的你自己会的。
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