作业帮知A是3阶实对称矩阵,特征值是1,1,-2,其中属于 的特征向量是 ,求 .其中属于 -2的特征向量是a=(1 0 1) 的转置，求 A的立方
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 17:51:27
知A是3阶实对称矩阵,特征值是1,1,-2,其中属于 的特征向量是 ,求 .
其中属于 -2的特征向量是a=(1 0 1) 的转置，求 A的立方
A为实对称矩阵,即A'=A
那么(A^3)'=A'A'A'=AAA=A^3,得A^3也为实对称矩阵
向量a=(1 0 1)是特征值λ=2对应的特征向量
(A^3)a=(A^2)(Aa)=(A^2)(λa)=(λA)(Aa)=(λA)(λa)=(λ^2)(Aa)
=(λ^2)(λa)=λ^3a
故A^3的特征值为1,1,-8,A^3的特征值-8所对应的特征向量仍为
a=(1 0 1)
好了,下面可以列方程了,
设A^3为
a d e
d b f
e f c
由(A^3)a=λa,其中a=（1 0 1）,λ=-8
可以得到三个方程
a+e=-8
d+f=0
e+c=-8
E-λA=
λ-a -d -e
-d λ-b -f
-e -f λ-c
进行代换化简可以得到
|E-λA|=(λ+8)[(λ-a+e)(λ-b)-2d^2]=(λ-1)(λ-1)(λ+8)
联系各方程,
楼上的方法过于复杂，其实构造出A的特征向量会使问题简单。
由于实对称阵相似于一个对角阵。由A可对角化知道它有n个特征向量线性无关。而属于不同特征值的特征向量是正交的，由属于-2的特征向量为a=（1，0，1）转置，可以构造b=（0，1，0）转置，c=（1，0，-1）转置作为1的特征向量（因为b，c都与a正交且a，b，c线性无关）。这样令P=（a，b，c），P^(-1)*A*P=diag(-2...
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楼上的方法过于复杂，其实构造出A的特征向量会使问题简单。
由于实对称阵相似于一个对角阵。由A可对角化知道它有n个特征向量线性无关。而属于不同特征值的特征向量是正交的，由属于-2的特征向量为a=（1，0，1）转置，可以构造b=（0，1，0）转置，c=（1，0，-1）转置作为1的特征向量（因为b，c都与a正交且a，b，c线性无关）。这样令P=（a，b，c），P^(-1)*A*P=diag(-2,1,1)，在这个式子等号2边立方有P^（-1）*A
^3*P=diag(-8,1,1),算得A=P*diag（-8，1，1）*P^(-1)=
-7/2 0 -9/2
0 1 0
-9/2 0 -7/2
我验算过了，没错。
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