作业帮若f(x)在[0,π]上连续,∫(0,π)f(x)cos(x)dx=∫(0,π)f(x)sin(x)dx=0 则存在a,b∈0,π,使得f(a)=f(b)=0证明：若f(x)在[0,π]上连续,且∫(0,π)f(x)cos(x)dx=∫(0,π)f(x)sin(x)dx=0则存在0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 05:48:58
若f(x)在[0,π]上连续,∫(0,π)f(x)cos(x)dx=∫(0,π)f(x)sin(x)dx=0 则存在a,b∈0,π,使得f(a)=f(b)=0
证明：若f(x)在[0,π]上连续,且
∫(0,π)f(x)cos(x)dx=∫(0,π)f(x)sin(x)dx=0
则存在0
首先证明f(X)在区间上有一个零点,这一点你利用∫(0,π)f(x)sin(x)dx=0就可以很简单地证明了（注意到sin(x)在区间上恒非负,以及利用一下f(x)的连续性（f(x)没有零点的话要么恒正要么恒负）就可以证明）
好了,假设f(x)有一个零点a,而且仅有这一个零点,下面分这样几个步骤进行
1、a不可能是端点,这一点很好证明,仿照第一段证明零点的存在性利用∫(0,π)f(x)sin(x)dx=0以及f(x)的连续性就可以简单地证明.
2、f(x)在[0,a)和(a,π]上异号,加入同正或者同负的话∫(0,π)f(x)sin(x)dx>0或者∫(0,π)f(x)sin(x)dx<0
3、我们不妨设f(x)在[0,a)上为正而在(a,π]上为负
a=π/2时,∫(0,π)f(x)cos(x)dx>0必然成立,矛盾
0
∫(a,π)f(x)sin(x-a)<0（注意f(x)和sin(x-a)在区间上的正负号.于是产生矛盾
π>a>π/2时,也是类似的考虑积分∫(0,π)f(x)sin(x+π-a)dx就可以了,也是和0
在这里打数学式子真的很麻烦,所以有一些细节没有打出来,相信你可以看明白吧……不过过程可能有点繁琐,可能会有更简单的方法.^_^
这个我也不会。
@=根号5／5
sin@=2cos@=2根号5／5