作业帮设f(x)是定义在R上以4为周期的偶函数,且在区间[4,6]上f(x)=2^x+1. 1）求f(x)在区间[-2,2]上的解析式和值域； 2）求f(x)在区间[4k-2,4k](k∈Z)上的反函数.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 05:13:14
设f(x)是定义在R上以4为周期的偶函数,且在区间[4,6]上f(x)=2^x+1.
1）求f(x)在区间[-2,2]上的解析式和值域；
2）求f(x)在区间[4k-2,4k](k∈Z)上的反函数.
1.
∵周期为4
∴f(x)在[0,2]上的函数图像与[4,6]上的函数图象一样
即f(x)在[0,2]上的函数图像是由[4,6]上的函数图象向左平移4个单位
∴x∈[0,2]时,f(x)=2^(x+4) + 1
∵f(x)是偶函数
∴图像关于y轴对称
设点A(x,y)在f(x)上,x∈[-2,0]
∴-x∈[0,2]
A关于y轴的对称点B(-x,y)一定在f(x)的[0,2]一段上
代入得
y=2^(4-x) + 1
∴f(x)= 2^(x+4) + 1 0≤x≤2
2^(4-x) + 1 -2≤x＜0
当0≤x≤2时,f(x)=2^(x+4) + 1=16×2^x +1,单调递增
∴f(0)≤f(x)≤f(2),即：17≤f(x)≤65
根据对称性,得
当-2≤x＜0时,17＜f(x)≤65
∴值域为[17,65]
2.
f(x)在[4k-2,4k]上的图像和f(x)在[-2,0]上的图像一样
即f(x)在[4k-2,4k]上的图像是由f(x)在[-2,0]上的图像向右平移4k个单位得到
∴当x∈[4k-2,4k]时,f(x)=2^[4-(x-4k)] + 1=2^(4k+4-x) +1
y=2^(4k+4-x) +1
y-1=2^(4k+4-x)
4k+4-x=log2(y-1)
x=4k+4-log2(y-1),17≤y≤65
∴f逆(x)=4k+4-log2(x-1),17≤x≤65
你再检查检查!
只提供思路哦：你可以先画出【4,6】上的图像，然后根据周期为4，你可以画出【0,2】的图像，在根据偶函数图像关于y轴对称，可以画出【-2,0】的图像，然后你就可以解决的第一问了，第二问你应该可以根据周期性、奇偶性解决的。
之类的问题一般用图像法，根据他的奇偶性、周期性，画出某些区间的图像，问题就迎刃而解了在问一下，那个周期性的移动，函数的自变量还是要和函数移动一样“左加右减”的原则嘛？...
全部展开
只提供思路哦：你可以先画出【4,6】上的图像，然后根据周期为4，你可以画出【0,2】的图像，在根据偶函数图像关于y轴对称，可以画出【-2,0】的图像，然后你就可以解决的第一问了，第二问你应该可以根据周期性、奇偶性解决的。
之类的问题一般用图像法，根据他的奇偶性、周期性，画出某些区间的图像，问题就迎刃而解了
收起