作业帮x^3-3X^2-4=0求解
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 08:46:44
x^3-3X^2-4=0
求解
x^3-3X^2-4=0
这个方程的实数解是
x=(3+2√2)^(1/3)+(3-2√2)^(1/3)+1
x约等于3.355301398
x^3-3X^2-4
对x求导
(x^3 - 3x^2 - 4)' = 3x^2 - 6x
导数等于零时
3x^2 - 6x = 0 => x^2 - 2x = 0 => x(x - 2) = 0
x1 = 0; x2 = 2
x = 0 => 0^3 - 3*0^2 - 4= -4
x = 2 => 2^3 - 3*2^2 - 4 = -8
x->-oo => x^3 - 3x^2 - 4 -> -oo
x->oo => x^3 - 3x^2 - 4 -> oo
在x=0、2时,x^3-3X^2-4的值都是负的,
所以y=x^3-3X^2-4的图像穿过x轴有且仅有一次,
即x^3-3X^2-4=0有且仅有一个实数解,且这个解在区间(2,oo)
另外有两个虚数解
x^3-3X^2-4=0
令x=y+1,代入上式
(y+1)^3-3(y+1)^2-4=0
y^3+3y^2+3y+1-3(y^2+2y+1)-4=0
y^3-3y-6=0
和特殊型x^3+px+q=0作比较
令y=A^(1/3)+B^(1/3)
A+B=－q=6,AB=-（p/3）^3=1
所以A、B是一元二次方程z^2-6z+1=0的解
(z-3)^2=-1+9=8
z1,2=+-2√2+3
y=(3+2√2)^(1/3)+(3+2√2)^(1/3)
x=(3+2√2)^(1/3)+(3-2√2)^(1/3)+1
x约等于3.355301398
另外两个虚根可以按韦达定理求出
设方程为
aX^3+bX^2+cX+d=0,
则有
X1·X2·X3=—d/a；
X1·X2+X1·X3+X2·X3=c/a；
X1+X2+X3=—b/a.
如果是下面两道题：
x^3+3x^2-4=0
x^3-x^2+4x^2-4=0
x^2(x-1)+4(x+1)(x-1)=0
(x-1)(x^2+4x+4)=0
(x-1)(x+2)^2=0
解得：x=-2或1
X^3-3X^2+4
=X^3+X^2-4X^2+4
=X^2(X+1)-4(X^2-1)
=X^2(X+1)-4(X-1)(X+1)
=(X+1)(X^2-4(X-1))
=(X+1)(X^2-4X+4)
所以：x1=-1
X^2-4X+4=0按公式解出x2,x3