作业帮柯西极限存在准则怎么证明?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 22:31:41
柯西极限存在准则怎么证明?
Cauchy收敛准则一般的利用ε -N语言易证,上面回答了.
而同时我们知道实数完备性的七大定理（确界原理、Cauchy收敛准则、单调有界原理、闭区间套定理、聚点定理、致密性定理、有限覆盖定理）都是等价的,其中任何一个都可以证明Cauchy收敛准则.而这一般会被好一点的学校作为考研的分析试题的前几题,北大最为常见.
我证一下数列的吧。函数的可以仿证。
柯西准则：
数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m>N,n>N时就有|Xn-Xm|<ε
证明：
(1)充分性：依条件知：对于一给定的ε>0，存在正整数k，使得任意m>N，都有：
|X(k+1)-Xm|<ε，即X(k+1)-ε
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我证一下数列的吧。函数的可以仿证。
柯西准则：
数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m>N,n>N时就有|Xn-Xm|<ε
证明：
(1)充分性：依条件知：对于一给定的ε>0，存在正整数k，使得任意m>N，都有：
|X(k+1)-Xm|<ε，即X(k+1)-ε
由维尔斯特拉斯紧性原理知，该数列一定存在收敛子列。设该子列{Xkl}收敛于A，
那么由极限定义：对于任意ε>0，都存在正整数L，使得任意的kl>L，都有：
|Xkl-A|<ε,即 -ε
|Xkl-Xm|<ε，即 -ε
对于任意给定的ε，都存在正整数N=max{L,M},使得任意的m>N，都有：
-2ε
(2)必要性：
已知Xn收敛于A，即对任意ε>0，都存在正整数N，使得任意m1>N,m2>N，都有：
-ε
|Xm1-Xm2|<2ε
证毕。
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