作业帮关于幂数因子提到极限符号外边的疑问我在学微积分,在“两个重要的极限”的章节里,准则II,即lim(x→∞)(1+1/x)^x=e,在一道例题中,要利用到此准则,书上的换算过程是：lim(x→∞)(1+1/x)^-x-1=[lim(x
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 09:00:59
关于幂数因子提到极限符号外边的疑问
我在学微积分,在“两个重要的极限”的章节里,准则II,即
lim(x→∞)(1+1/x)^x=e,在一道例题中,要利用到此准则,书上的换算过程是：lim(x→∞)(1+1/x)^-x-1=[lim(x→∞)(1+1/x)^x]-1*lim(x→∞)(1+1/x)^-1=e^-1*1=e^-1
我的问题是[lim(x→∞)(1+1/x)^x]-1 特别是-1是怎么提出来的,我能理解到的步骤是lim(x→∞)(1+1/x)^-x-1=lim(x→∞)(1+1/x)^-x*lim(x→∞)(1+1/x)^-1 ；而极限的运算法则,说,只有正整数才能提到符号外边吗?那-1是怎么提出来的?还是我有些定理没有看到?
lim(x→∞)(1+1/x)^-x-1=[lim(x→∞)(1+1/x)^x]^-1*lim(x→∞)(1+1/x)^-1=e^-1*1=e^-1
有个错误，改正了，就是那个-1也是幂；
to：immimi，我问的问题就是你说的“这一项的-1是从-x里提出来的”，-1为什么可以变到整个lim的外边，因为如下：
我理解-x=-1*x，但是，-1是负数，在极限的运算法则中说，“定理2.9 在某个变化过程中，如果变量x于变量y分别以A于B为极限，则变量xy以AB为极限”，而推论3为：“如果n是正整数，则 limx^n=(limx)^n ” 如果是根据此定理把-1提出来的话，那-1不是正整数啊；
是不是用其他的定理的？
(1+1/x)^(-x-1)
=(1+1/x)^(-x)*(1+1/x)^(-1)
当x趋于无穷时
1+1/x极限是1,所以后一项极限是1^(-1)=1
则只要把前一项极限算出来
则两个极限都存在,所以积的极限是极限的积
lim(x→∞)(1+1/x)^-1
这一项等于1
[lim(x→∞)(1+1/x)^x]-1
这一项的-1是从-x里提出来的
lim(x→∞)(1+1/x)^-x-1=lim(x→∞)[(1+1/x)^-x]*[(1+1/x)^-1]
而极限的运算法则，说，只有正整数才能提到符号外边吗？
这句话我没读懂。
根据极限的定义，f(x),g(x)...
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lim(x→∞)(1+1/x)^-1
这一项等于1
[lim(x→∞)(1+1/x)^x]-1
这一项的-1是从-x里提出来的
lim(x→∞)(1+1/x)^-x-1=lim(x→∞)[(1+1/x)^-x]*[(1+1/x)^-1]
而极限的运算法则，说，只有正整数才能提到符号外边吗？
这句话我没读懂。
根据极限的定义，f(x),g(x)只有两函数在x->x0时都有极限时，才有
lim f(x)g(x)=lim f(x)*lim g(x)
补充：
呃……这个你可以把x^-a,(a>0)看做1/(x^a)，
那么只要x^a极限存在且不为0，就可因根据定义求分母的极限了。而且若limx^a=L存在且不为0，那么limx^-a=1/limx^a=1/L=L^-1=(limx^a)^-1，是成立的，所以方便起见就对此没有做说明。
至于书上的定理，说的没错，我记得是用极限的乘法公式证明的，所以将n限定为正整数，而且书上想强调的是整数。
再看，当y=1/x，limy有极限,即非x->0，且n不为无穷大的正整数时，limy^n=(limy)^n=L，成立，limy^n=lim(1/x)^n=(lim1/x)^n=L同样成立。
那么L=limy^n=lim(1/x)^n=limx^-n=(limx)^-n成立吗？显然，在x->无穷的时候等式不成立，此时x无极限，但是其他情况它依然是成立的。
能推敲的定理就是要推敲，最好能发现问题，定理的证明是最好的例题。
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你可以这么来理解lim(x→∞)(1+1/x)^-x-1=[lim(x→∞)1/lim(x→∞)(1+1/x)^x]*lim(x→∞)(1+1/x)^-1=(1/e)*1=1/e