作业帮已知关于x的方程mx2-3（m-1）x+2m-3=0． （1）求证：无论m取任何实数时,方程总有实数根； （2）若关于x已知关于x的方程mx2-3（m-1）x+2m-3=0．（1）求证：无论m取任何实数时,方程总有实数根；（2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 17:29:28
已知关于x的方程mx2-3（m-1）x+2m-3=0． （1）求证：无论m取任何实数时,方程总有实数根； （2）若关于x
已知关于x的方程mx2-3（m-1）x+2m-3=0．
（1）求证：无论m取任何实数时,方程总有实数根；
（2）若关于x的二次函数y1=mx2-3（m-1）x+2m-3的图象关于y轴对称．
①求这个二次函数的解析式；
②已知一次函数y2=2x-2,证明：在实数范围内,对于x的同一个值,这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立；
（3）在（2）的条件下,若二次函数y3=ax2+bx+c的图象经过点（-5,0）,且在实数范围内,对于x的同一个值,这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立．求二次函数y3=ax2+bx+c的解析式．
（1）分两种情况：
当m=0时,原方程化为3x-3=0,解得x=1,
∴当m=0,原方程有实数根．
当m≠0时,原方程为关于x的一元二次方程,
∵△=[-3（m-1）]2-4m（2m-3）=m2-6m+9=（m-3）2≥0．
∴原方程有两个实数根．
综上所述,m取任何实数时,方程总有实数根．
（2）①∵关于x的二次函数y1=mx2-3（m-1）x+2m-3的图象关于y轴对称,
∴3（m-1）=0．∴m=1．∴抛物线的解析式为y1=x2-1
②∵y1-y2=x2-1-（2x-2）=（x-1）2≥0,
∴y1≥y2（当且仅当x=1时,等号成立）．
（3）由②知,当x=1时,y1=y2=0．∴y1、y2的图象都经过（1,0）．
∵对于x的同一个值,y1≥y3≥y2,
∴y3=ax2+bx+c的图象必经过（1,0）．
又∵y3=ax2+bx+c经过（-5,0）,∴y3=a（x-1）（x+5）=ax2+4ax-5a．
设y=y3-y2=ax2+4ax-5a-（2x-2）=ax2+（4a-2）x+（2-5a）．
∵对于x的同一个值,这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立,
∴y3-y2≥0,
∴y=ax2+（4a-2）x+（2-5a）≥0．
又根据y1、y2的图象可得 a＞0,
∴y(min)=[4a(2-5a)-(4a-2)]/4a≥0
∴（4a-2）2-4a（2-5a）≤0．∴（3a-1）2≤0．
而（3a-1）2≥0．只有3a-1=0,解得a=1/3．
∴抛物线的解析式为y3=1/3x^2+4/3x-5/3.
（1）(3(m-1))^2-4m(2m-3)=(m-3)^2>0 所以方程总有实数根
（2）根据题意对称轴为x=0 所以 3(m-1)/2m=0 m=1
所以 y1=x^2-1
证明 因为 y1-y2=x^2-1-(2x-2)=(x-1)^2>0 所以y1>y2均成立