已知二元一次方程X^2+mnX+(m+n)=0 (m、n为正整数) 有两个整数解a、b.求符合条件的m、n的对数
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/31 05:42:30
已知二元一次方程X^2+mnX+(m+n)=0 (m、n为正整数) 有两个整数解a、b.求符合条件的m、n的对数
由韦达定理,得:
a+b=-mn
ab=m+n
由题意知:m+n为正整数,表明a、b同号;而-mn为负整数,则再说明a、b同为负整数.
若m、n≥2,则必有m+n≤mn,
ab≤-(a+b)
ab+a+b≤0
a(b+1)+(b+1)≤1
(a+1)(b+1)≤1
由上可知,a、b同为负整数,即:a、b的值可能为:-1、-2、-3、···等等;
由于a、b地位相同,所以只考虑
1、当a=-1时,有:
-1+b=-mn··········①
-b=m+n··········②
①+②,得:
-1=m+n-mn
mn-m-n=1
(m-1)(n-1)=2
由于m、n为正整数,不考虑主次,必有:
m-1=1
n-1=2
m=2,n=3;此时的b=-5;
2、当a=-2时,有:
-2+b=-mn··········③
-2b=m+n··········④
③×2+④,得:
-4=m+n-2mn
2mn-m-n=4
(2m-1)(2n-1)=9
由于m、n为正整数,不考虑主次,必有:
2m-1=1
2n-1=9
m=1,n=5;此时的b=-3;
和:
2m-1=3
2n-1=3
m=2,n=2;此时的b=-2
3、当a=-3时,由上知b=-2;当a=-4、-5、-6···等等时,要使(a+1)(b+1)≤1成立,只能是b=-1,但b=-1时,由上知a=-5.
综上,符合要求的m、n对数有3对:
(2,3)、(1,5)、(2,2)
最简单的方法是先根据有两个整数解a、b列出mn满足的不等式,再一个一个地代。但貌似是无穷解吧?
有高人会吗?
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