设x,y属于全体实数,且x+y=5,则3的x次方+3的y次方的最小值是?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/05 08:25:40

设x,y属于全体实数,且x+y=5,则3的x次方+3的y次方的最小值是?

3^x+3^y≥2√(3^x·3^y)
=2√3^(x+y)
=2√3^5
=18√3
故最小值为18√3

因为x+y=5 所以不妨设x大于等于2.5大于等于y 且x,y关于2.5对称
设f(a)=3的a次方 因为f(a)为凹函数 所以 3的x次方 -3的2.5次方大于等于3的2.5次方-3的y次方 所以 3的x次方+3的y次方 大于等于2*3的2.5次方 所以最小值为18*根号3

有一个不等式性质:a+b>=2*根号下ab
所以3的x次方+3的y次方>=2*根号下(3的x次方)*(3的y次方),即括号里是3的x+y次方,等于18倍根号3,所以结果是18*根号3