作业帮已知等差数列an的公差d大于0,且a2,a5是方程x^2-12x+27=0的两根,数列bn的前n项和为Tn,且Tn=1-1/2bn .（1）求数列an,bn的通项公式 （2）.设数列前n项和为Sn,比较1/bn 与S(n+1)的大小,说明理由.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 07:57:06
已知等差数列an的公差d大于0,且a2,a5是方程x^2-12x+27=0的两根,数列bn的前n项和为Tn,且Tn=1-1/2bn .
（1）求数列an,bn的通项公式 （2）.设数列前n项和为Sn,比较1/bn 与S(n+1)的大小,说明理由.
我来试试吧.
(1)x^2-12x+27=0的两根为x1=3,x2=9
由题a2,a5是方程两根,d>0,
a2=3,a5=9,d=(a5-a2)/3=2,得a1=1
从而{an}通项为 an=2n-1 (n∈N*)
Tn=1-1/2bn
Tn+1=1-1/2bn+1
得 Tn+1 - Tn=1-1/2bn+1 -1+1/2bn=bn+1
从而bn+1=1/3 bn
又T1=b1=1-1/2b1,得b1=2/3
{bn}通项为 bn=2(1/3)^(n) (n∈N*)
(2)数列an前n项和为Sn=1+3+5+...+(2n-1)=n²
Sn+1=(n+1)²
1/bn=1/2*3^n
1/b1n²+2n+1=(n+1)²
故 当n≤3时,1/bnS(n+1)
问题补充：已知等差数列an的公差d大于0，且a2，a5是方程x^2-12x 27=0的∵数列{b[n]}的前n项和为S[n]，且S[n]=1-b[n]/2 ∴S[n 1]=
第二小问主要是比较n+1的2次方和3的n次方除以2大小的问题，
显然当n=4时， n+1的平方小于3的n次方除以2，
假设当n=k时， （k+1）^2 < (3^k)/2 (k>=4)
当n = k+1时， (n+1)^2 = (k+2)^2 = (k+1)^2 + 2*k + 3 < (k+1)^2 + (k+1)^2 < 3(k+1)^2< 3*(3^k)/2 = 3^...
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第二小问主要是比较n+1的2次方和3的n次方除以2大小的问题，
显然当n=4时， n+1的平方小于3的n次方除以2，
假设当n=k时， （k+1）^2 < (3^k)/2 (k>=4)
当n = k+1时， (n+1)^2 = (k+2)^2 = (k+1)^2 + 2*k + 3 < (k+1)^2 + (k+1)^2 < 3(k+1)^2< 3*(3^k)/2 = 3^(k+1)/2.
得证。
我的基本思路就是数学归纳法。
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