线性代数里的关于n阶行列式的一道证明题a+b a 0 ... 0 0b a+b a ... 0 00 b a+b ... 0 0... ... ... ... ... ...0 0 0 ... a+b a0 0 0 ... b a+b证明上面的这个行列式等于【a
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/31 16:07:19
线性代数里的关于n阶行列式的一道证明题
a+b a 0 ... 0 0
b a+b a ... 0 0
0 b a+b ... 0 0
... ... ... ... ... ...
0 0 0 ... a+b a
0 0 0 ... b a+b
证明上面的这个行列式等于【a的(n+1)次减去b的(n+1)次】,再除以(a+b)
按照第一行展开,得Dn=(a+b)×D(n-1)-ab×D(n-2),所以
Dn-a×D(n-1)=b×[D(n-1)-a×D(n-2)]
D1=a+b,D2=a^2+b^2+ab(这里a^2表示a的平方)
所以,数列{Dn-a×D(n-1)}是一个等比数列,公比是b,首项为D2-a×D1=b^2
所以,Dn-a×D(n-1)=b^2×b^(n-2)=b^n
同理由Dn=(a+b)×D(n-1)-ab×D(n-2)得Dn-b×D(n-1)=a×[D(n-1)-b×D(n-2)]. 所以,Dn-b×D(n-1)=a^n
由Dn-a×D(n-1)=b^n,Dn-b×D(n-1)=a^n 得
Dn=[a^(n+1)-b^(n+1)]/(a-b),n≥2
D1也满足上式,所以Dn=[a^(n+1)-b^(n+1)]/(a-b),n=1,2,……
线性代数里的关于n阶行列式的一道证明题a+b a 0 ... 0 0b a+b a ... 0 00 b a+b ... 0 0... ... ... ... ... ...0 0 0 ... a+b a0 0 0 ... b a+b证明上面的这个行列式等于【a
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