幂级数Σ(n=1到∞)x^(2n)=?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/16 08:54:44

幂级数Σ(n=1到∞)x^(2n)=?

∑（n从1到正无穷）[(n² 1)/n ] x^(2n)
=∑（n从1到正无穷）nx^(2n) ∑（n从1到正无穷）(1/n)x^(2n)
=x/2∑（n从1到正无穷）2nx^(2n-1) 2∑（n从1到正无穷）[x^(2n)]/2n
=x/2∑（n从1到正无穷）[x^(2n)]′ 2∑（n从1到正无穷）∫x^(2n-1)dx(积分区间为0到x)
=x/...

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∑（n从1到正无穷）[(n² 1)/n ] x^(2n)
=∑（n从1到正无穷）nx^(2n) ∑（n从1到正无穷）(1/n)x^(2n)
=x/2∑（n从1到正无穷）2nx^(2n-1) 2∑（n从1到正无穷）[x^(2n)]/2n
=x/2∑（n从1到正无穷）[x^(2n)]′ 2∑（n从1到正无穷）∫x^(2n-1)dx(积分区间为0到x)
=x/2[∑（n从1到正无穷）x^(2n)]′ 2∫[∑（n从1到正无穷）x^(2n-1)]dx
=x/2[x²/(1-x²)]′ 2∫[x/(1-x²)]dx
=x²/(1-x²)²-ln|1-x²|

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