在四边形ABCD中,DB平分∠ADC,∠ABC=120°,∠C=60°,∠BDC=30°,延长CD到点E,连接AE,使得∠C=2∠E.1.求证:四边形ABCD是平行四边形;2.若DC=12,求AD的长.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/08 20:28:40

在四边形ABCD中,DB平分∠ADC,∠ABC=120°,∠C=60°,∠BDC=30°,延长CD到点E,连接AE,使得∠C=2∠E.
1.求证:四边形ABCD是平行四边形;
2.若DC=12,求AD的长.

四边形ABCD是等腰梯形,四边形ABDE是平行四边形.这题是要证明四边形ABDE是平行四边形吧!
证明：1.∵∠ABC=120°,∠C=60°,∠BDC=30°,DB平分∠ADC
∴∠CBD=180°-∠C-∠BDC=90°,∠ABD=∠ABC-∠CBD=30°
∠E=(1/2)∠C=30°,∠EAD=∠ADC-∠E=∠ADB=30°
由∠ABD=∠BDC=30°,AB∥CD(内错角相等,两直线平行)
又∵在△EAD与△BDA中
∠ABD=∠DEA,∠ADB=∠DAE,AD=DA
∴△ABD≌△DEA(AAS),AB=DE
四边形ABDE是平行四边形(一组对边平行且相等)
2.∵∠C=∠ADC,且AB∥CD
∴四边形ABCD为等腰梯形,AD=BC
又∵∠CBD=90°,∠C=60°
∴CD=2BC
∴AD=6

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晕。四边形ABCD是等腰梯形，四边形ABDE是平行四边形。这题是要证明四边形ABDE是平行四边形吧？
1、证明：
∵∠ABC=120°，∠C=60°，∠BDC=30°，DB平分∠ADC
∴∠CBD=180°-∠C-∠BDC=90° ∠ABD=∠ABC-∠CBD=30°
∠E=(1/2)∠C=30° ∠EAD=∠ADC-∠E=∠ADB=30°
由∠ABD=∠BDC=30°，则AB∥CD
又∵在△EAD与△BDA中，∠ABD=∠DEA，∠ADB=∠DAE，AD=DA
∴△ABD≌△DEA，则AB=DE
∴四边形ABDE是平行四边形(一组对边平行且相等)
2、
∵∠C=∠ADC，且AB∥CD
∴四边形ABCD为等腰梯形，AD=BC
又∵∠CBD=90°，∠C=60°
∴CD=2BC
∴AD=6

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分析：（1）可证明AB∥ED，AE∥BD，即可证明四边形ABDE是平行四边形；由∠ABC=120°，∠C=60°，得AB∥ED；∠E=1\2
∠C=∠BDC=30°，得AE∥BD；
（2）可证得四边形ABCD是等腰梯形，AD=BC，易证△BDC是直角三角形，可得BC=1\2
DC=6．
（1）证明：∵∠ABC=120°，∠C=60°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥DC，即AB∥ED；
又∠C=60°，∠E=1\2∠C，∠BDC=30°，
∴∠E=∠BDC=30°，
∴AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是梯形，
∵DB平分∠ADC，∠BDC=30°，
∴∠ADC=∠BCD=60°，
∴四边形ABCD是等腰梯形；
∴BC=AD，
∵在△BCD中，∠C=60°，∠BDC=30°，
∴∠DBC=90°，
又DC=12，
∴AD=BC=1\2DC=6．

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（1）证明：∵∠ABC=120°，∠C=60°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥DC，即AB∥ED；
又∠C=60°，∠E=∠C，∠BDC=30°，
∴∠E=∠BDC=30°，
∴AE∥BD
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是梯形，
∵DB平分∠ADC，∠BDC=30°，
∴∠ADC=∠BCD=60°，
∴四边形ABCD是等腰梯形；
∴BC=AD，
∵在△BCD中，∠C=60°，∠BDC=30°，
∴∠DBC=90°
又DC=16 cm，
∴AD=BC=1/2DC=8 cm．

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