作业帮奥数 解方程5(√(1+x)+√(1-x))=6x+8√(1-x^2),解出x
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 22:52:19
奥数 解方程5(√(1+x)+√(1-x))=6x+8√(1-x^2),解出x
5(√(1+x)+√(1-x))=6x+8√(1-x^2)
-1=0,cos2a>=0时得：
10sina=6sin2a+8cos2a=10sin[2a+arcsin(3/5)],a=-arcsin(3/5),
x=sin[-2arcsin(3/5)]=-sin[2arcsin(3/5)]=-2*(3/5)*(4/5)=-24/25
验证：
5(√(1+x)+√(1-x))=5*1/5+5*7/5=8;6x+8√(1-x^2)=-6*24/25+8*(1/5)*(7/5)=-11*8/258
不过,在验证过程中可知,x=24/25
5(√(1+x)+√(1-x))=6x+8√(1-x^2)
5(√(1+x)+√(1-x))=6x+8√((1+x)(1-x))
设a=√(1+x), b=√(1-x)
x=a^2-1=1-b^2=(a^2-b^2)/2
a^2+b^2=2;
a=√2 sinθ，b=√2 cosθ (0°<θ<90°)
5(a+b)=3(a...
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5(√(1+x)+√(1-x))=6x+8√(1-x^2)
5(√(1+x)+√(1-x))=6x+8√((1+x)(1-x))
设a=√(1+x), b=√(1-x)
x=a^2-1=1-b^2=(a^2-b^2)/2
a^2+b^2=2;
a=√2 sinθ，b=√2 cosθ (0°<θ<90°)
5(a+b)=3(a^2-b^2)+8ab
5√2(sin+cos)=6(sin^2-cos^2)+8sincos
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两边平方得 25[1+x+2√(1-x^2)+1-x]=36x^2+96x√（1-x^2)+64(1-x^2)
50[1+√(1-x^2)]=64-28x^2+96x√（1-x^2)
√(1-x^2)=[14-28x^2]/[50-96x]=7[1-2x^2]/[25-48x]
所以 (1-x^2)(25-48x)^2=49(1-2x^2)^2
化简可得 576...
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两边平方得 25[1+x+2√(1-x^2)+1-x]=36x^2+96x√（1-x^2)+64(1-x^2)
50[1+√(1-x^2)]=64-28x^2+96x√（1-x^2)
√(1-x^2)=[14-28x^2]/[50-96x]=7[1-2x^2]/[25-48x]
所以 (1-x^2)(25-48x)^2=49(1-2x^2)^2
化简可得 576-2400x+1875x^2+2400x^3-2500x^4=0
分解(24-25x)(24-75x+100x^3)=0
解得x=0.96,0.5795666410, -0.9955289414, 0.4159623006
带入原方程验算可知0.5795666410, -0.9955289414为增根
所以解为 x=0.96,或0.4159623006
按类似libowu 的逻辑可取x=cos2a 其中a属于[0,π/2]
原方程可改为 5√2（cosa+sina)=6cos2a+8sin2a
10cos(a-π/4)=10cos(2a-arccos(3/5))
a-π/4属于[-π/4,π/4] ,2a-arccos(3/5) 属于 【-arccos(3/5),π-arccos(3/5)】
两种可能 ① a-π/4=2a-arccos(3/5) a=π/4-arccos(3/5)
x=cos2a=cos(π/2-2arcos(3/5))=sin(2arcos(3/5))=2sin(arcos(3/5))cos(arcos(3/5))=2×4/5×3/5=24/25
② a-π/4=-（2a-arcos(3/5)) 则 a=π/12+arccos(3/5)/3
x=cos(π/6+2arccos(3/5)/3)约等于0.4159623006
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