如何证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半不用矩形证明

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 01:11:02

如何证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
不用矩形证明

如图,



\x0dΔABC是直角三角形,作AB的垂直平分线n交BC于D\x0d∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）\x0d以DB为半径,D为圆心画弧,与BC在D的另一侧交于C'\x0d∴DC’=AD=BD\x0d∴∠BAD=∠BDA\x0d ∠C’AD=∠AC’D （等边对等角）\x0d又∵∠BAD+∠BDA+∠C’AD+∠AC’D =180°（三角形内角和定理）\x0d ∴∠BAD+∠C’AD=90°\x0d 即：∠BAC’=90°\x0d又∵∠BAC=90°\x0d ∴∠BAC=∠BAC’\x0d ∴C与C’重合\x0d（也可用垂直公理证明 ：假使C与C’不重合\x0d 由于CA⊥AB,C’A⊥AB\x0d 故过A有CA、C’A两条直线与AB垂直\x0d 这就与垂直公理矛盾\x0d ∴假设不成立\x0d ∴C与C’重合）\x0d∴DC=AD=BD\x0d∴AD是BC上的中线且AD=BC/2\x0d这就是直角三角形斜边上的中线定理\x0d 证法2：如图



\x0dΔABC是直角三角形,AD是BC上的中线,作AB的中点E,连接DE\x0d∴BD=CB/2,DE是ΔABC的中位线\x0d∴DE‖AC（三角形的中位线平行于第三边）\x0d∴∠DEB=∠CAB=90°（两直线平行,同位角相等）\x0d∴DE⊥AB \x0d∴n是AB的垂直平分线\x0d∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）\x0d∴AD=CB/2

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