关于皮亚诺公理的疑问度娘百科上的“皮亚诺公理条目”是：皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：Ⅰ 0是自然数；Ⅱ 每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数a' ,a'也是自然

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 04:53:25

关于皮亚诺公理的疑问
度娘百科上的“皮亚诺公理条目”是：
皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：
Ⅰ 0是自然数；
Ⅱ 每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数a' ,a'也是自然数（数a的后继数a‘就是紧接在这个数后面的整数（a+1）.例如,1‘=2,2’=3等等.）
可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数,因为满足这两条的有可能不是自然数系统.比如考虑由 0,1 构成的数字系统,其中1的后继为0.这不符合我们对于自然数系统的期望,因为它只包含有限个数.因此,我们要对自然数结构再做一下限制：
Ⅲ 0不是任何自然数的后继数；
但这里面的漏洞防不胜防,此时仍不能排除如下的反例：数字系统 0,1,2,3,其中3的后继是3.看来,我们设置的公理还不够严密.我们还得再加一条.
Ⅳ如果b、c的后继数都是自然数a,那么b = c；
最后,为了排除一些自然数中不应存在的数（如 0.3）,同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要,我们加上最后一条公理.
Ⅴ 设S⊆N,且满足2个条件（i）0∈S；（ii）如果n∈S,那么n'∈S.则S是全体自然数的集合,即S=N.(这条公理也叫归纳公理,保证了数学归纳法的正确性)
注：归纳公设可以用来证明0是唯一不是后继数的自然数,因为令命题为“n=0或n为其它数的后继数”,那么满足归纳公设的条件.
若将只考虑正整数,则公理中的0要换成1,自然数要换成正整数.
我对Ⅴ 有疑问,因为我觉得它并不能排除0.3等自然数中不应该出现的数

郭敦顒回答：
“数字系统 0,1,2,3,其中3的后继是3.”
3的后继是4,与“0不是任何自然数的后继数；”无关.
你再自检一下个人的思路.

关于皮亚诺公理的疑问度娘百科上的“皮亚诺公理条目”是：皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：Ⅰ 0是自然数；Ⅱ 每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数a' ,a'也是自然 【皮亚诺公理】 【皮亚诺公理】 人物的历史背景是什么 求集合论中所有的公理与定义不要与百度百科上的一样 关于上海世界博览会的百科知识百科知识? 求初中数学几何定理、公理求初一（上、下）、初二（上）的所有关于几何的定理和公理要60条以上越快越好 数学中的四则运算的基础是不是皮亚诺公理? 数学归纳法的原理,通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）.但是在另一些公理的基数学归纳法的原理,通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）.但是在另一些公理的基础上,它 有关于箭毒木的百科! 平行线的公理是什么? 公理定理的辨别 直线的公理是什么 直线的公理是什么 SSS、ASA、SAS、AASSSS公理、ASA公理、SAS公理、AAS公理的具体内容分别是什么? 百科上的看不太懂… 关于音爆产生之后的疑问在百科上看到了关于音爆的解释,简单的说就是当速度接近音速时空气阻力会密集的形成"一堵墙"当飞机继续加速突破这个阻力就会产生音爆,于是我的疑问是 关于柯西不等式教材上的疑问 除了希尔伯特的接合公理,顺序公理,合同公理,连续公理,在平面几何中还有其他公理么? 请说出初中数学上的所有公理