作业帮已知f（x）=x^2+2（a-2）x+4 1.如果对一切x∈R,f（x）＞0恒成立,求实数a的取值范围.2.如果对x∈[1,3],f（x）＞0恒成立,求实数a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 06:16:29
已知f（x）=x^2+2（a-2）x+4
1.如果对一切x∈R,f（x）＞0恒成立,求实数a的取值范围.2.如果对x∈[1,3],f（x）＞0恒成立,求实数a的取值范围
f(x)为开口向上的抛物线,对称轴为x= 2 - a,顶点(2 - a,4 - (a - 2)²)
(1) 如果对一切x∈R,f(x) ＞0恒成立,则4 - (a - 2)² > 0,a(a - 4) < 0,0 < a < 4
(2)
(i) 对称轴x = 2 - a ∈[1,3],1 ≤ 2 - a ≤ 3,-1 ≤ a ≤ 1
4 - (a - 2)² > 0,0 < a < 4
结合前提:0 < a ≤ 1
(ii) 对称轴x = 2 - a < 1,a > 1
此时[1,3]在对称轴右侧,f(x) > 0,只须f(1) > 0
f(1) = 1 + 2(a - 2) + 4 = 2a + 1 >0
a > -1/2
结合前提,a > 1
(iii)对称轴x = 2 - a > 3,a < -1
此时[1,3]在对称轴左侧,f(x) > 0,只须f(3) > 0
f(3) = 9 + 6(a - 2) + 4 = 1 + 6a > 0
a > 1/6
结合前提:-1/2 < a < 1
与a < -1矛盾,此时无解.
(i)(ii)(iii)结合:a > 0
1、开口向上，没有零点说明无解。请记住这个公式b^2-4ac<0,大于零时说明有两个不相等的实数解，等于零说明有两个一样的实数解，小于零说明没有实数解。
2、这道题是第一题的升华，需要你动笔去画图思考，首先你把[1,3]区域画出来，然后自己模拟一个开口向上的函数图像，怎么放置能使[1,3]段的函数图像在y=0之上（这就是考点，做题先找出考点，会不会咱另说，不会起码知道去哪学）。
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1、开口向上，没有零点说明无解。请记住这个公式b^2-4ac<0,大于零时说明有两个不相等的实数解，等于零说明有两个一样的实数解，小于零说明没有实数解。
2、这道题是第一题的升华，需要你动笔去画图思考，首先你把[1,3]区域画出来，然后自己模拟一个开口向上的函数图像，怎么放置能使[1,3]段的函数图像在y=0之上（这就是考点，做题先找出考点，会不会咱另说，不会起码知道去哪学）。
这个时候你要去想，要怎样来限制这些林林总总的条件，可能需要根据判别式b^2-4ac符号来分类，也可能需要对称轴的方式来判定。这个时候别慌着做，理一下自己知道哪些东西，首先还是开口，肯定是向上的了，其次要求的是在[1,3]这段函数值大于零即可。那么我们可以采用对称轴的方式，当然仅仅用对称轴还是不够的，我们加上一个约束条件，1、当对称轴在[1,3]区域左边，也就是小于1时，函数在1点处的值要大于零。2、当对称轴在[1,3]右边时，也就是对称轴大于3时，函数在3处的值也应该大于零。
对称轴公式我忘记了怎么办，找一个对称轴很明显的简单函数试试，x^2+2x+1=0，，这些点代入数值都可以求得，可以试出来公式是-（b/2a）。那么可以开始做题了。
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