作业帮已知正方形ABCD的边长为4,分别以A、B、C、D为圆心的圆弧构成如下的图形,则图中的阴影面积为 ．已知正方形ABCD的边长为4 ,分别以A、B、C、D为圆心的圆弧（4个4分之一圆）构成如下的图形,求
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 20:34:44
已知正方形ABCD的边长为4,分别以A、B、C、D为圆心的圆弧构成如下的图形,则图中的阴影面积为 ．
已知正方形ABCD的边长为4 ,分别以A、B、C、D为圆心的圆弧（4个4分之一圆）构成如下的图形,求图中的阴影（4个4分之一圆的重叠部分）面积．
半径为4
如图,即求 EFGH 所围成区域的面积吧.
有如下步骤：
一.求区域 DEFGC 的面积（即以 DC 为底,以 弧DEF 和 弧FGC 为边的区域）.
连接 FD 与 FC ,易知 △FDC 为等边三角形 ,则易知其面积为 4*根号3 .
又因为 角FDC 为 60°,所以容易得到 扇形DCGF 的面积,为 8*π/3.
所以易知区域 DEFGC 的面积为：
扇形DFGC的面积+扇形CFED面积－△FDC面积=16*π/3-4*根号3.
二.求区域 DAEHC 的面积.（即边AD和DC 以及 弧AEHC 构成的区域）
很容易,其面积为：正方形ABCD面积－扇形BAEHC的面积=16-4*π.
三.求区域 DHC 的面积.（即DC为底,弧DH和弧HC为腰的类似三角形区域）
整个 正方形ABCD 可划分为如下区域：
区域AEHGB+区域DAEHC+区域CBGHD－区域DHC.
而 区域AEHGB 的面积即 区域DEFGC 的面积,区域DAEHC 和 区域CBGHD 面积相等.
所以：
区域DHC面积=区域DEFGC面积+ 2*区域DAEHC面积－ABCD面积=16－4*根号3－8*π/3.
四.求 区域EFGH 的面积.
以上各步的目的其实是求 区域DHC 的面积,得到 区域DHC 的面积后,求 区域EFGH 的面积就
很容易了.
由图易知,区域DAEHC+区域CDHGB+区域BCGFA+区域ABFEC－区域DHC－区域CGB－区域BFA－区域AED＋区域EFGH = 正方形ABCD.
由于对称性可知：
区域EFGH面积 = 正方形ABCD面积+ 4*区域DHC面积－4*区域DAEHC面积
=16+16*π/3－16*根号3.
另外,还有一种非常简单的方法,就是由对称性可以得出 角FDG=30°,并可知,若连接 EF、FG 、GH、HE,则 四边形EFGH 为正方形 .从而可求出 线段FG 的长度,并求得 弧FG 和 线段FG 围成区域的面积.进而可以直接利用上面的分解求出 区域EFGH 的面积. 不过这种方法要涉及三角公式等,比较难写上去. 感兴趣的话楼主可以自己算算. 我算了下,结果和上面的方法一样.
能给张图吗。。
没有圆的半径么？