作业帮X,y,z>0且x+y+z=1,求证：（1/x-x)(1/y-y)(1/z-z)≥(8/3)^3
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 18:20:50
X,y,z>0且x+y+z=1,求证：（1/x-x)(1/y-y)(1/z-z)≥(8/3)^3
(1/x-x)(1/y-y)(1/z-z)={(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)}{xyz}
={1-(x^2+y^2+z^2)+(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)-x^2y^2z^2}{xyz}
={(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)+(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)-x^2y^2z^2}{xyz}
={2(xy+yz+zx)+(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)-x^2y^2z^2}{xyz}
=2(1/x+1/y+1/z)+({yz}/x+{zx}/y+{xy}/z)-xyz
=17/9(1/x+1/y+1/z)+(1/{9x}+1/{9y}+1/{9z}+{yz}/x+{zx}/y+{xy}/z)-xyz
>=17/9 {9}{x+y+z}+2-((x+y+z)/3)^3
==17+2-1/27=(8/3)^
不过好像能用二次求导,琴生不等式做
因为x、y、z大于0，
x+y+z=1，
所以x＜1，y＜1，z＜1
设3a≥1，
则有（3a-1）（a+3）≥0，
展开后3a^2+8x-3≥0,这里需要分解因式，分解因式后得：
(1-a^2)/a≥8/3，
要证明的式子中左边一个因式可化成(1-a^2)/a相乘的形式，
其实这个式子要从结论倒推来证明，不知道看得懂不？...
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因为x、y、z大于0，
x+y+z=1，
所以x＜1，y＜1，z＜1
设3a≥1，
则有（3a-1）（a+3）≥0，
展开后3a^2+8x-3≥0,这里需要分解因式，分解因式后得：
(1-a^2)/a≥8/3，
要证明的式子中左边一个因式可化成(1-a^2)/a相乘的形式，
其实这个式子要从结论倒推来证明，不知道看得懂不？
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