已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q,sn是它的前n项和,求使lim1/sn存在的充要条件要有过程额...

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 15:40:37

已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q,sn是它的前n项和,求使lim1/sn存在的充要条件
要有过程额...

q≠0
当q=1时,Sn=n*a1
当n→+∞时,1/Sn→0
当q≠1时,
Sn=a1*(1-q^n)/1-q
因为1-q为常数
所以要使Sn有极限,既是1-q^n有极限
所以-1＜q＜0,0＜q＜1
综上,q∈(-1,0)∪(0,1]

sn＝a1*(1-q^n)/(1-q)
1/sn就是倒过来
lim1/sn存在就相当于(1-q)/(1-q^n)有极限
Q大于1

sn=(1-q^n)/(1-q)
所以当-1

已知Sn=a1(1-q^n)/1-q
所以：lim1/Sn=(1-q)/a1(1-q^n)
1。当q不等于0时，要使极限先存在，则应该满足：(1-q^n)无限接近一个定值。
即q^n无限接近0.
所以|q|<1
2，当q等于0时，an为常数列。an=1
所以，sn=n
lim1/sn=0,成立！
综上述：-1

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答案是q≠0且q≠-1.
证明过程如下：
1.
当q=1时，S(n)=n*a(1)
lim[1/S(n)]=[1/a(1)]lim(1/n)=0
2.
当q≠1时，易知
S(n)=[a(1)/(1-q)]*(1-q^n)
所以1/S(n)=[(1-q)/a1]*1/(1-q^n)
lim[1/s(n)]=[1...

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答案是q≠0且q≠-1.
证明过程如下：
1.
当q=1时，S(n)=n*a(1)
lim[1/S(n)]=[1/a(1)]lim(1/n)=0
2.
当q≠1时，易知
S(n)=[a(1)/(1-q)]*(1-q^n)
所以1/S(n)=[(1-q)/a1]*1/(1-q^n)
lim[1/s(n)]=[1-q]/a(1)]lim[1/(1-q^n)]
等价于极限lim[1/(1-q^n)]存在
如果|q|<1，根据极限的四则运算limq^n=0
有lim[1/s(n)]=[(1-q)/a(1)]lim[1/(1-q^n)]
=(1-q)/a(1)
如果|q|>1，lim[1/(1-q^n)]=0
从而lim[1/S(n)]=0
如果q=-1，数列是摆动数列
a1,-a1,a1,-a1,…………
前偶数项之和为0，前奇数项之和为a1
则lim[1/S(2n)]不存在
lim[1/S(2n+1)]=1/a1
说明q=-1时，该极限不成立。
又因为题设说是等比数列，所以公比q≠0。
综上所述，使lim1/sn存在的充要条件是公比不是-1。（公比不为0隐含在里面了。）

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