作业帮十点前解出来给50 一道初三抛物线加圆的题!如图,以直径为AB的○M交x轴于A、B两点,交y轴于C、D两点,且A（-4,0）B（1,0）（1）求过ABC三点的抛物线解析式（2）点N是抛物线上一点,若直线BN将△OBC
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 16:57:46
十点前解出来给50 一道初三抛物线加圆的题!
如图,以直径为AB的○M交x轴于A、B两点,交y轴于C、D两点,且A（-4,0）B（1,0）
（1）求过ABC三点的抛物线解析式
（2）点N是抛物线上一点,若直线BN将△OBC的面积分为1:2两部分,求点N的坐标
（3）在x轴上是否存在一点P,使以P、O、D三点为顶点的三角形与△AOC相似（也可是全等）,若存在,请直接写出点P的坐标,不存在请说明理由.
由题意得,圆心m的坐标为（（-4+1）/2,0),即（-3/2,0）,半径r=[1-(-4)]/2=5/2
则圆的方程为(x+3/2)²+y²=25/4
把x=0代入(x+3/2)²+y²=25/4,解得y=2,∴点C的坐标为（0,2）
由抛物线的两个零根为-4和1可设抛物线的方程为y=a(x+4)(x-1)
把(0,2)代入y=a(x+4)(x-1),解得a=-1/2
∴抛物线的方程为y=-1/2(x+4)(x-1)①
设直线NB与y轴的交点为k（0,a）,使得直线BN将△OBC的面积分为1:2两部分
而SΔkBC=OB×OK/2=a/2,SΔCKB=CK×OB/2=(2-a)/2
由题意得,SΔkBC=2SΔCKB或2ΔkBC=SΔCKB
当SΔkBC=2SΔCKB时,a/2=2×(2-a)/2,解得a=4/3,
直线NB的直线方程为y=-4/3(x-1)②,联立①,②式解得x=-4/3...(x=1舍弃）,y=28/9
则点N的坐标为（-4/3,28/9)
当2SΔkBC=SΔCKB时,2a/2=(2-a)/2,解得a=2/3,
直线NB的直线方程为y=-2/3(x-1)③,联立①,③式解得x=-8/3...(x=1舍弃）,y=22/9
则点N的坐标为（-8/3,22/9)
综上所述,点N的坐标为（-4/3,28/9)或（-8/3,22/9)
（3）点P坐标为（-4,0）,即点A,
或（4,0）,另一侧,
或（1,0）,即点B
或（-1,0）