用数列极限定义证明lim n/2^n=0

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 18:30:54

对于任意的ε>0
要使|n/2^n|<ε
因为2^n=(1+1)^n=C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)=1+n+[n(n-1)/2]...+C(n,n)≥n(n-1)/2
所以只需证|n/2^n|≤n÷[n(n-1)/2]
=2/(n-1)<ε
即n>（2/ε）+1
取N=【2/ε】+1,则当n>N时,有|n/2^n|<ε
由定义知命题成立!
其中【】表示取整函数,C(n,2)表示n中取2的组合数!
不明白可以追问,如果有帮助,请选为满意回答!

证明
2^n=(1+1)^n=1+n+n(n-1)/(1*2)+n(n-1)(n-2)/(1*2*3)+......+n(n-1)(n-2)/(1*2*3)+n(n-1)/(1*2)+n+1
所以2^n即n/2^n<1/(n-1)，
任取ε＞0,使|1/(n-1)-0|<ε
得n＞1/ε+1...

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证明
2^n=(1+1)^n=1+n+n(n-1)/(1*2)+n(n-1)(n-2)/(1*2*3)+......+n(n-1)(n-2)/(1*2*3)+n(n-1)/(1*2)+n+1
所以2^n即n/2^n<1/(n-1)，
任取ε＞0,使|1/(n-1)-0|<ε
得n＞1/ε+1,
所以取N=1/ε+1（取整函数的符号），当n＞N时，就有绝对值不等式|n/2^n-0|<|1/(n+1)-0|<ε恒成立，也即lim(n/2^n)=0（n→∞)。
当我编辑完之后发现已有大神抢先完成了，但不能白白浪费了我的一片好意！

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用数列极限定义证明lim n/2^n=0 用数列极限的定义证明lim n→∞ n!/n^n=0 用数列极限的定义证明下列极限lim(1-1/2^n)=1 用数列极限定义证明,lim(n趋向无穷大）1/根号n=0 用数列的极限定义证明lim 5^1 =0n-00 用定义证明数列极限：lim(n^3)*(|q|^n)=0,其中|q| 高数数列极限证明lim （√n）*arctan n------------------=0 n->∞ 1+n 用定义证明一到大一数列极限高数题lim(1/n)arctann=0n→∞用数列极限定义证明定义证明数列极限Lim (n^2/3 sin n!)/(n+1)^2=0n→∞希望有详细的过程.必须用定义证明哦~~ 数列用定义证明极限lim （-1/2)n次方=0n→∞ 说明每一步的解析. 用数列极限的定义证明下列极限 lim(n+1/n-1)=1 数列极限的定义证明lim(1/n)(arctan n)=0 n→∞ 用数列的极限定义证明lim(4n^2+n)/(n^2+1) 用数列极限的ε-N定义证明证明lim 1/n*cos 2n=0cos 2n不在分母上。用数列极限的定义证明lim(sin1 )=0, 用数列极限的定义证明:lim 1/（n+1）=0 证明数列极限定义 LIM(x ->-无穷大) 1/N^2=0 用极限定义证明： lim( 2^n/n!)=0 其中n趋向于无穷.