作业帮1＝12＋3＝54＋5＋6＝15第n个＝f（n）猜想第f（n）关于n的表达式子为何an-(an-1)=3n(n-1)/2+1
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 05:37:41
1＝1
2＋3＝5
4＋5＋6＝15
第n个＝f（n）
猜想第f（n）关于n的表达式子
为何an-(an-1)=3n(n-1)/2+1
a1=1
a2-a1=4
a3-a2=10
a4-a3=19
...
...
an-(an-1)=3n(n-1)/2+1
同时相加 an=1+4...+3n(n-1)/2+1
b2-b1=4-1=3
b3-b2=10-4=6
b4-b3=19-10=9
...
bn-b(n-1)=3n-3
两边同时相加
bn-b1=3+6+9...+3n-3
bn=1+3+6+...3n-3=3n(n-1)/2+1
可以看出 an=sn=求和3n(n-1)/2+1=(3n^2-3n+2)/2
3n^2求和=n(n+1)(2n+1)/2
-3n求和=-3(1+n)n/2
2求和=2n
所以an=[n(n+1)(n-1)+2n]/2=n(n^2-1+2)/2=(n^3+n)/2
即f(n)=(n^3+n)/2
证明:
1'n=1时 1=1成立
2'假设n=k时 成立 ,则f(k)=(k^3+k)/2
则n=k+1时 f(k+1)=(k^3+k)/2+([3(k+1)]^2-3(k+1)+2)/2=[(k+1)^3+(k+1)]/2
也成立
所以得证.
f(n)=Sum[i, {i, (n - 1) n/2 + 1, (n + 1) n/2}]
output: 1/2 n (1 + n^2)
n=1, f(n)=1
n=2, f(n)=5
n=3, f(n)=15
n=4, f(n)=34
n=100, f(n)=500050
(n - 1) n/2 + 1, (n + 1) n/2 给出了...
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f(n)=Sum[i, {i, (n - 1) n/2 + 1, (n + 1) n/2}]
output: 1/2 n (1 + n^2)
n=1, f(n)=1
n=2, f(n)=5
n=3, f(n)=15
n=4, f(n)=34
n=100, f(n)=500050
(n - 1) n/2 + 1, (n + 1) n/2 给出了数的范围，例如n=1是 1, n=2是2，3，，n=3的时候是4，5，6
大概第一问是要观察找出f(n),然后第二问：
a_n-(a_(n-1))=f(n)-f(n-1)=1/2 (2 - 3 n + 3 n^2)=3n(n-1)/2+1
收起
f(n)=((1+n)n/2+1)+)+((1+n)n/2+2)+.......+((1+n)n/2+n)
=(1+(1+n)n/2)n/2