已知函数f(x)=x+1/x(1)求函数的定义域(2)证明f(x)在(0.1)上为减函数,在(1.正无穷)上为增函数(3)推测f(x)在(负无穷.0)上的单调区间及在各个区间上的单调性
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 23:52:44
已知函数f(x)=x+1/x(1)求函数的定义域(2)证明f(x)在(0.1)上为减函数,在(1.正无穷)上为增函数
(3)推测f(x)在(负无穷.0)上的单调区间及在各个区间上的单调性
f(x)=x+1/x
x不等于0
所以定义域为(-∞,0),(0,+∞)
在定义域中设x1>x2,求出f(x1)-f(x2)的正负值,判断其单调性
因为f(x)为奇函数
所以单调性与(0,+∞)相同
(1)∵f(x)=x+1/x
∴f(x)定义域为x≠0
故f(x)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞);
(2)∵f'(x)=1-1/x²=(x²-1)/x²=(x-1)(x+1)/x²
∴当x∈(0,1)时,f'(x)<0。即f(x)在(0,1)上为减函数
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(1)∵f(x)=x+1/x
∴f(x)定义域为x≠0
故f(x)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞);
(2)∵f'(x)=1-1/x²=(x²-1)/x²=(x-1)(x+1)/x²
∴当x∈(0,1)时,f'(x)<0。即f(x)在(0,1)上为减函数
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0。即f(x)在(1,+∞)上为增函数;
(3)∵f(-x)=-x-1/x=-(x+1/x)=-f(x)
∴f(x)是奇函数。即f(x)关于坐标原点O对称的函数
∴根据对称性可以推测:f(x)在(-∞,-1)上为增函数,f(x)在(-1,0)上为减函数。
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