教学案例是已经发生的教学过程的反映,是对教学情境的描述.不是教案和教学设计 教学论文.要有教学背景 主题 细节 结果 评析.

教学案例是已经发生的教学过程的反映,是对教学情境的描述.
不是教案和教学设计 教学论文.
要有教学背景 主题 细节 结果 评析.

几个数学教学案例的反思与启示







程广文1 宋乃庆2
（1. 泉州师范学院 教务处,福建 泉州 362000；2. 西南师范大学 基础教育研究中心,重庆 北碚 400715）
“案例是教学理论的故乡.”〔1〕这个观点从两个方面得来：第一,教学理论应该是一种“形而下”的理论,教学理论是为教学实践服务的,离开了这个前提的“理论”不能称之为“教学理论”；第二,教学理论来源于教学实践,实践是教学理论的唯一来源,而案例则是数学教学实践的摹写,摹写案例的目的在于把数学教学实践中的教育学问题突出出来,以便更清楚地认识问题本质.不难明白,这两个方面是一个双向建构的过程.数学课堂教学活动主要包括教学主体、教学内容、教学方式和教学结果.以下四个案例分别从上述四个方面反映了数学课堂教学实践层次上的特征,同时也从一定的角度提出了研究者关于这四个阶段的观点和思考.我们对它们进行反思,目的在于从中可以得到一些启示.舒尔曼说过,“案例并非是简单地对一个教学事件的报告,称其为案例是因为在于提出一项理论主张……”〔2〕四个案例中有三个是从数学课堂第一线收集来的,另一个则来自课堂实录.这些案例虽然是个别的,但是它们所反映出的数学教学特征在数学教学实践中仍然具有一定的代表性,可以说只要走进数学课堂就可以看到案例中的情境.
一、教学主体：以教师思维代替学生思维而忘却学生的存在
案例1：“分式”概念教学
〔开始上课之前〕
T：〔板书〕根据题目意思列出代数式：
甲2小时做x个零件,乙每小时比甲少做6个零件.
1． 乙每小时做 个零件；
2． 甲乙合作小时共做 个零件；
3． 甲用m小时可做 个零件；
4． 甲做60个零件需 小时；
5． 甲乙合作y个零件需 小时.
§ 9．1 分式
例1 x取什么值时,下列分式有意义.
（1）；（2）.
〔开始上课〕
T：我们看填空题.（全班一起回答.）
（1）x－6；（2）；（3）mx；
（4）；（5）.
T：观察这五个答案,上述五个答案中（4）、（5）与前三个答案有什么不一样?
S1：（4）、（5）中有分数线.
T：中也有分数线.
S2：分母中含有字母.
T：对了,主要是分母含有字母.
T：像这样的式子,我们叫做分式.
（板书：分式定义）.
T：在课堂本子上,举几个分式的例子.
S：（开始做作业）
（注：T表示教师；S表示学生；Sk表示第K个学生；S表示全班学生.）
这节课主要是对分式概念进行教学.在教学进行之前,教师精心地设计了一个工程问题为分式教学进行铺垫.这个铺垫对分式的学习是有很大帮助的,具有较高的教学价值.铺垫后的教学有两个关键之处：第一是教师的提问,“T：观察这五个答案,上述五个答案中（4）、（5）与前三个答案有什么不一样”；第二是教师对S2的回答“分母中含有字母”的后继处理（教学）.而恰恰在这两个关键之处教师都“忘记了学生”.例如,教师的第一个提问,试图让学生从“（1）x－6；（2）；（3）mx；（4）；
（5）”这样五个代数式中区别出分式来,但是教师所提出的问题中已经“不由自主”地区别了,说（4）、（5）“与前三个答案有什么不一样”,这样提出问题使得提问的价值大为降低.首先要求学生从形式上辨别出“分式”,并且是采取比较的方式,有比较才有鉴别,教师出发点非常好,但是作为以区别分式为出发点的比较应让学生自己采用分类的方法区别开来.换句话说,如果教师让学生先观察这五个代数式然后进行分类紧接着做比较从而让学生把分式的根本特征概括出来,这样分式概念的教学前的铺垫就发挥了充分作用.把本该由学生思考的东西却由教师代为思考了,那么教师为谁而教?学生在哪里?其次,在实际教学中,当S2把教师希望提的问题的答案“分母中含有字母”说出之后,教师立即给出分式的定义并在黑板上板书.一个学生知道了教师的问题的答案并不意味着大部分学生都清楚了问题所在.更何况,还不能真正清楚S2的答案是否表明S2对问题的认识,从S1的回答足以看出这一点,更不能断定整个班级的其他60多个学生的情况了.此处,足见教师在提出问题后已经“迫不及待”等候着学生的答案了,似乎显得教师提出问题就是为了这个答案而已,而忘记了作为教学过程的目的在于使得全班学生都达到理解和认同.
二、教学内容：数学教学中以数学操作代替数学理解
案例2：“表达式”例题教学
例：已知x＝,y＝3－2t,用含x的表达式表示y.
教师这样开始教学：题目要求我们用含x的表达式表示y,那么,第一步,我们可以从式子x＝中得到（1＋t）x＝1－t.整理,得t（1＋x）＝1－x.从中求出t,得t＝.第二步,将这个t＝代入y＝3－2t中,得y＝3－2×.整理,得y＝.这样这个题目就算讲解完了.
上述数学解题教学,教师是直接“讲解”“数学理解的表达形式”,而不是“讲解”“数学理解”本身.这种形式的教学是一种“数学操作”,是一种操作性教学,不是真正意义上的教学.真正意义上的教学是具有生成意义的,没有生成意义的教学充其量算是一种“训练”.不可否认,数学教学首要的是对数学知识的掌握,但是知识的掌握并非绝对地要通过“训练”方式才能掌握,何况数学是思而至知的学问,它的学习和掌握需要理解,没有理解的“训练”不能从真正意义上获得数学知识.如果教师从问题的结论开始和学生一起分析,从什么是“用含x的表达式表示y”这一问题开始,让学生对这句话的数学语义理解了,学生就比较容易找到问题的解决思路和途径.懂了“用含x的表达式表示y”就可以理解“x＝”和“y＝3－2t”,进而理解“t＝”,问题也就解决了.
三、教学方式：数学课堂上出现形式化教学
案例3：“三角形中位线”课录节选〔3〕
T：同学们,今天上第36节课——三角形的中位线（边讲边板书,学生记在作业本上）.1． 什么叫做三角形的中位线?（教师板书学生记.）请同学们先看书,再齐读.（全班齐读三角形的中位线定义,师在黑板上画△ABC,如图1）
图1

T：请指出△ABC的中位线.
S1：在AB上找到中点D,在AC上找到中点E,连接DE.DE就是△ABC的中位线.
T：同学们,S1说得对吗?
S（齐答）：对!
T：三角形的中位线是直线,是射线,还是线段呢?请S2回答.
S2：线段.
T：是一条什么样的线段?
S2：是一条连接三角形两边的中点的线段.
T：讲得好.三角形的中位线是一条线段,它的两个端点是三角形两边的中点.除了DE,还有哪些线段是三角形的中位线呢?请S3回答.
S3：有.还有BC的中点与其他任一边上的中点的连线.
（师在图1上作EF,DF.）
T：对了,DF、EF也是三角形的中位线.请同学们看课本第155页上的第一行,这里说三角形的中位线和三角形的中线不同,请问：不同在哪里?（见S4举手.）请S4回答.
S4：中线是连接三角形一个顶点和它的对边的中点的线段.
T：对了,虽然它们都是线段,但它们连接的点不同.中位线是连接两边中点的线段,而中线是连接一个顶点和它的对边的中点的线段.（边画图2,边说明.）
图2
这是一节概念课教学.如果说概念的认知顺序是先“过程”再“对象”的话,那么在这节课中,“中位线”概念的教学顺序则只有“对象”没有“过程”.概念的认知顺序需要有过程性,原因在于“概念在过程阶段表现为一系列的固定步骤,具有操作性,相对直观,容易仿效学会”.〔4〕从教学片段看,教学仅仅停留在“对象”——中位线的定义上,而缺乏“过程”.关于中位线定义,教师教学有这样三个阶段,第一阶段是“读”,让学生“读”中位线的定义,在教学中教师提出“什么叫做三角形的中位线”并且“教师板书学生记”,然后“请同学们先看书,再齐读”,“全班齐读三角形的中位线定义”时教师“在黑板上画”；第二个阶段是“识”,让学生根据“读”来识别三角形中哪条线段是中位线,在教学中教师“请S2指出△ABC的中位线”；第三个阶段是“辨”,让学生根据“读”和“识”的结果和感受辨别中位线和中线的区别,教师的教学行为是提出“三角形的中位线是直线,是射线,还是线段呢”和“请同学们看课本第155页上的第一行,这里说三角形的中位线和三角形的中线不同,请问不同在哪里”.教学停留在中位线定义的文字上,没有从中位线的形成着手,也没有把中位线在几何中的地位和作用说明清楚.三角形中位线在几何题证明中中点的作用最大,教学中若强调中点比强调定义的文字和形式更节约时间也更能把重点突出出来,教学还更清晰.
四、教学结果：对数学理解中的自动化行为缺乏教育学反思
案例4：“有理数运算”应用题教学
例：一批面粉10包,每包标准重量为25 kg,通过称量,发现这10包与标准线位置的差如下表：
袋号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

与标准线位置差
+1
-0.5
-1.5
+0.75
-0.25
+1.5
-1
+0.5
0
+0.5


求这批面粉的总重量.
教师的讲解如下.
求代数和
（＋1）＋（－0．5）＋（－1．5）＋（0．75）＋（－0．25）＋（＋1．5）＋（－1）＋（＋0．5）＋0＋（＋0．5）＝1,我们可以求得总重量就是：
25×10＋1＝251（kg）.
这是一节初中一年级数学课中的一部分.从数学的角度来看,整道题的求解无懈可击.但是在实际课堂上这里有两个地方教师没有向学生交代清楚：第一是例题中表格里的正负号的意义.正号表示超过标准重量的意思,（＋1）就是表示超出标准重量1 kg,也就是这包面粉的重量为26 kg；负号表示低于标准重量的意思,（－1）就表示低于标准重量1 kg,也就是这包面粉重量为24 kg.这也能加深学生对正负数的概念的理解,并且是结合实际意义进行理解.所以,这个解释很重要.第二是例题讲解中对“25×10＋1＝251（kg）”中“25×10”的理解.“25×10”是一个抽象的算式,25 kg是一个观念中的重量,因此教师应该把这一点向初一的学生讲解清楚,而实际教学中教师没有做到.本人在课堂上就抽了三个学生询问了一下,没有学生知道这是为什么.
任何学科的教学都要求在该学科上有一定专业化程度的人进行教学工作.教师的学科专业化在教育学上的意义是十分明确的,没有一定的相对于所教学的内容而言层次较高的知识做准备的教师是无法在这个层次上进行该学科的教学的,数学教学尤为如此.但是,在课堂教学中教师的专业化程度越高,对数学的理解就越具有高度的自动化,从而使得对学生的数学学习状况不理解,甚至不理解学生.例如,我们常常听到一线的教师这样说,我讲得最清楚不过了,他就是听不懂,他就是做不来题目.同一个数学问题,对教师理解起来容易,但对学生理解起来太难；在教师看来是那样的显而易见,但对学生来说却很艰难.所以很多时候还需要我们广大教师好好反思一下.

注释：
〔1〕顾泠沅：《教学任务的变革》,《教育发展研究》2001年第10期.
〔2〕Shulman,L.S． Just in case：Reflections on learning from experiences． In J．Colbert,K．Trimble,＆ P．Desberg（Eds．）,The case for education：Contemporary approaches for using case methods,（P11）． Boston：Allyn ＆ Bacon,1996．
〔3〕宋阳、王梦荣等：《初中数学优秀教案课堂实录选评》,广西人民出版社1986年版,第103～106页.
〔4〕李士锜：《PME：数学教育心理》,华东师范大学出版社2001年版,第112页.
（责任编辑：李 冰）

小学数学教学论文--在小学数学教学中培养学生的思维能力
培养学生的思维能力是现代学校教学的一项基本任务。我们要培养社会主义现代化建设所需要的人才，其基本条件之一就是要具有独立思考的能力，勇于创新的精神。小学数学教学从一年级起就担负着培养学生思维能力的重要任务。下面就如何培养学生思维能力谈几点看法。
一 培养学生的逻辑思维能力是小学数学教学中一项重要任务
思维具有很...

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小学数学教学论文--在小学数学教学中培养学生的思维能力
培养学生的思维能力是现代学校教学的一项基本任务。我们要培养社会主义现代化建设所需要的人才，其基本条件之一就是要具有独立思考的能力，勇于创新的精神。小学数学教学从一年级起就担负着培养学生思维能力的重要任务。下面就如何培养学生思维能力谈几点看法。
一 培养学生的逻辑思维能力是小学数学教学中一项重要任务
思维具有很广泛的内容。根据心理学的研究，有各种各样的思维。在小学数学教学中应该培养什么样的思维能力呢？《小学数学教学大纲》中明确规定，要“使学生具有初步的逻辑思维能力。”这一条规定是很正确的。下面试从两方面进行一些分析。首先从数学的特点看。数学本身是由许多判断组成的确定的体系，这些判断是用数学术语和逻辑术语以及相应的符号所表示的数学语句来表达的。并且借助逻辑推理由一些判断形成一些新的判断。而这些判断的总和就组成了数学这门科学。小学数学虽然内容简单，没有严格的推理论证，但却离不开判断推理，这就为培养学生的逻辑思维能力提供了十分有利的条件。再从小学生的思维特点来看。他们正处在从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。这里所说的抽象逻辑思维，主要是指形式逻辑思维。因此可以说，在小学特别是中、高年级，正是发展学生抽象逻辑思维的有利时期。由此可以看出，《小学数学教学大纲》中把培养初步的逻辑思维能力作为一项数学教学目的，既符合数学的学科特点，又符合小学生的思维特点。
值得注意的是，《大纲》中的规定还没有得到应有的和足够的重视。一个时期内，大家谈创造思维很多，而谈逻辑思维很少。殊不知在一定意义上说，逻辑思维是创造思维的基础，创造思维往往是逻辑思维的简缩。就多数学生说，如果没有良好的逻辑思维训练，很难发展创造思维。因此如何贯彻《小学数学教学大纲》的目的要求，在教学中有计划有步骤地培养学生逻辑思维能力，还是值得重视和认真研究的问题。
《大纲》中强调培养初步的逻辑思维能力，只是表明以它为主，并不意味着排斥其他思维能力的发展。例如，学生虽然在小学阶段正在向抽象逻辑思维过渡，但是形象思维并不因此而消失。在小学高年级，有些数学内容如质数、合数等概念的教学，通过实际操作或教具演示，学生更易于理解和掌握；与此同时学生的形象思维也会继续得到发展。又例如，创造思维能力的培养，虽然不能作为小学数学教学的主要任务，但是在教学与旧知识有密切联系的新知识时，在解一些富有思考性的习题时，如果采用适当的教学方法，可以对激发学生思维的创造性起到促进作用。教学时应该有意识地加以重视。至于辩证思维，从思维科学的理论上说，它属于抽象逻辑思维的高级阶段；从个体的思维发展过程来说，它迟于形式逻辑思维的发展。据初步研究，小学生在10岁左右开始萌发辨证思维。因此在小学不宜过早地把发展辩证思维作为一项教学目的，但是可以结合某些数学内容的教学渗透一些辩证观点的因素，为发展辩证思维积累一些感性材料。例如，通用教材第一册出现，可以使学生初步地直观地知道第二个加数变化了，得数也随着变化了。到中年级课本中还出现一些表格，让学生说一说被乘数（或被除数）变化，积（或商）是怎样跟着变化的。这就为以后认识事物是相互联系、变化的思想积累一些感性材料。
二 培养学生思维能力要贯穿在小学数学教学的全过程
现代教学论认为，教学过程不是单纯的传授和学习知识的过程，而是促进学生全面发展（包括思维能力的发展）的过程。从小学数学教学过程来说，数学知识和技能的掌握与思维能力的发展也是密不可分的。一方面，学生在理解和掌握数学知识的过程中，不断地运用着各种思维方法和形式，如比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理；另一方面，在学习数学知识时，为运用思维方法和形式提供了具体的内容和材料。这样说，绝不能认为教学数学知识、技能的同时，会自然而然地培养了学生的思维能力。数学知识和技能的教学只是为培养学生思维能力提供有利的条件，还需要在教学时有意识地充分利用这些条件，并且根据学生年龄特点有计划地加以培养，才能达到预期的目的。如果不注意这一点，教材没有有意识地加以编排，教法违背激发学生思考的原则，不仅不能促进学生思维能力的发展，相反地还有可能逐步养成学生死记硬背的不良习惯。
怎样体现培养学生思维能力贯穿在小学数学教学的全过程？是否可以从以下几方面加以考虑。
（一）培养学生思维能力要贯穿在小学阶段各个年级的数学教学中。要明确各年级都担负着培养学生思维能力的任务。从一年级一开始就要注意有意识地加以培养。例如，开始认识大小、长短、多少，就有初步培养学生比较能力的问题。开始教学10以内的数和加、减计算，就有初步培养学生抽象、概括能力的问题。开始教学数的组成就有初步培养学生分析、综合能力的问题。这就需要教师引导学生通过实际操作、观察，逐步进行比较、分析、综合、抽象、概括，形成10以内数的概念，理解加、减法的含义，学会10以内加、减法的计算方法。如果不注意引导学生去思考，从一开始就有可能不自觉地把学生引向死记数的组成，机械地背诵加、减法得数的道路上去。而在一年级养成了死记硬背的习惯，以后就很难纠正。
（二）培养学生思维能力要贯穿在每一节课的各个环节中。不论是开始的复习，教学新知识，组织学生练习，都要注意结合具体的内容有意识地进行培养。例如复习20以内的进位加法时，有经验的教师给出式题以后，不仅让学生说出得数，还要说一说是怎样想的，特别是当学生出现计算错误时，说一说计算过程有助于加深理解“凑十”的计算方法，学会类推，而且有效地消灭错误。经过一段训练后，引导学生简缩思维过程，想一想怎样能很快地算出得数，培养学生思维的敏捷性和灵活性。在教学新知识时，不是简单地告知结论或计算法则，而是引导学生去分析、推理，最后归纳出正确的结论或计算法则。例如，教学两位数乘法，关键是通过直观引导学生把它分解为用一位数乘和用整十数乘，重点要引导学生弄清整十数乘所得的部分积写在什么位置，最后概括出用两位数乘的步骤。学生懂得算理，自己从直观的例子中抽象、概括出计算方法，不仅印象深刻，同时发展了思维能力。在教学中看到，有的老师也注意发展学生思维能力，但不是贯穿在一节课的始终，而是在一节课最后出一两道稍难的题目来作为训练思维的活动，或者专上一节思维训练课。这种把培养思维能力只局限在某一节课内或者一节课的某个环节内，是值得研究的。当然，在教学全过程始终注意培养思维能力的前提下，为了掌握某一特殊内容或特殊方法进行这种特殊的思维训练是可以的，但是不能以此来代替教学全过程发展思维的任务。
（三）培养思维能力要贯穿在各部分内容的教学中。这就是说，在教学数学概念、计算法则、解答应用题或操作技能（如测量、画图等）时，都要注意培养思维能力。任何一个数学概念，都是对客观事物的数量关系或空间形式进行抽象、概括的结果。因此教学每一个概念时，要注意通过多种实物或事例引导学生分析、比较、找出它们的共同点，揭示其本质特征，做出正确的判断，从而形成正确的概念。例如，教学长方形概念时，不宜直接画一个长方形，告诉学生这就叫做长方形。而应先让学生观察具有长方形的各种实物，引导学生找出它们的边和角各有什么共同特点，然后抽象出图形，并对长方形的特征作出概括。教学计算法则和规律性知识更要注意培养学生判断、推理能力。例如，教学加法结合律，不宜简单地举一个例子，就作出结论。最好举两三个例子，每举一个例子，引导学生作出个别判断〔如（2＋3）＋5＝2＋（3＋5），先把2和3加在一起再同5相加，与先把3和5加在一起再同2相加，结果相同〕。然后引导学生对几个例子进行分析、比较，找出它们的共同点，即等号左端都是先把前两个数相加，再同第三个数相加，而等号右端都是先把后两个数相加，再同第一个数相加，结果不变。最后作出一般的结论。这样不仅使学生对加法结合律理解得更清楚，而且学到不完全归纳推理的方法。然后再把得到的一般结论应用到具体的计算（如57＋28＋12）中去并能说出根据什么可以使计算简便。这样又学到演绎的推理方法至于解应用题引导学生分析数量关系，这里不再赘述。
三 设计好练习题对于培养学生思维能力起着重要的促进作用
培养学生的思维能力同学习计算方法、掌握解题方法一样，也必须通过练习。而且思维与解题过程是密切联系着的。培养思维能力的最有效办法是通过解题的练习来实现。因此设计好练习题就成为能否促进学生思维能力发展的重要一环。一般地说，课本中都安排了一定数量的有助于发展学生思维能力的练习题。但是不一定都能满足教学的需要，而且由于班级的情况不同，课本中的练习题也很难做到完全适应各种情况的需要。因此教学时往往要根据具体情况做一些调整或补充。为此提出以下几点建议供参考。
（一）设计练习题要有针对性，要根据培养目标来进行设计。例如，为了了解学生对数学概念是否清楚，同时也为了培养学生运用概念进行判断的能力，可以出一些判断对错或选择正确答案的练习题。举个具体例子：“所有的质数都是奇数。（ ）”如要作出正确判断，学生就要分析偶数里面有没有质数。而要弄清这一点，要明确什么叫做偶数，什么叫做质数，然后应用这两个概念的定义去分析能被2整除的数里面有没有一个数，它的约数只1和它自身。想到了2是偶数又是质数，这样就可以断定上面的判断是错误的。

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