高中数学题f(x)=(2^(x+4))/((4^x)+8)①求f(x)的最大值②证明对于任何实数a,b恒有f(a)<(b^2)-3b+(21/4)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/11 23:35:25
高中数学题f(x)=(2^(x+4))/((4^x)+8)①求f(x)的最大值②证明对于任何实数a,b恒有f(a)<(b^2)-3b+(21/4)
令t=2^x>0,则
f(x)
=16t/(t²+8)
=16/[t+(8/t)]
≤16/(4√2)
=2√2
即f(x)最大值为2√2,
对任意a,由上边的求解,知f(a)最大值为2√2,
对任意b,有
b²-3b+21/4
=(b-3/2)²+3
≥3,
所以f(a)
(1):观察解析式易得,f(x)>0,所以求f(x)最大值即为求1/f(x)的最小值
1/f(x)=(4^x+8)/2^(x+4)
不妨设a=2^x,所以a>0
有1/f(x)=1/16*(a+8/a)
所以1/f(x)的最小值为四分之根号二
所以f(x)的最大值为二倍根号二
(2):由第一问可知f(x)≤二倍根号二
所以若满足f(a)<(b...
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(1):观察解析式易得,f(x)>0,所以求f(x)最大值即为求1/f(x)的最小值
1/f(x)=(4^x+8)/2^(x+4)
不妨设a=2^x,所以a>0
有1/f(x)=1/16*(a+8/a)
所以1/f(x)的最小值为四分之根号二
所以f(x)的最大值为二倍根号二
(2):由第一问可知f(x)≤二倍根号二
所以若满足f(a)<(b^2)-3b+(21/4) 则等价于
(b^2)-3b+(21/4) >二倍根号二成立
又有(b^2)-3b+(21/4) 的最小值为3(利用配平或者二次函数性质很容易得到)
所以(b^2)-3b+(21/4) 恒大于f(a)
收起
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