高一数学立体几何证明题,已知平行四边形ABCD中,AB=6,AD=10,BD=8,E是线段AD的中点,沿BD将△BCD翻折到△BC'D,使得平面BC'D⊥平面ABD.(1)求证:C'D⊥平面ABD(2)求直线BD与平面BEC'所成角的正弦值(3
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/27 11:42:52
高一数学立体几何证明题,
已知平行四边形ABCD中,AB=6,AD=10,BD=8,E是线段AD的中点,沿BD将△BCD翻折到△BC'D,使得平面BC'D⊥平面ABD.(1)求证:C'D⊥平面ABD(2)求直线BD与平面BEC'所成角的正弦值(3)求二面角D-BE-C的余弦值注意:请用几何证明法解答,勿用空间向量.
(1)证:
∵AB=6,AD=10,BD=8,所以△ABD为直角三角形且全等于△BCD.即CD⊥BD,∴C'D⊥BD
又△BC'D⊥△ABD且交于BD,由定理(两垂直平面,一平面内直线垂直于他们的交线,则该直线垂直于另一平面)知C'D⊥△ABD
(2)延长BE至F,连接DF,使DF⊥BF,连接C'F
∵C'D⊥△ABD,∴C'D⊥BF则BF⊥△EC'D,
作DG⊥C'F,则BF⊥DG,∴DG⊥△BC'F,即∠DBG为直线BD与平面BEC'所成角.
由△BDF相似于△ABD知,DF/AB=BD/AD,得DF=4.8,BF=6.4
则直角△BC'F中,C'B=10,C'F=1.2√41.
由△C'DG相似于△C'DF知,GD/DF=C'D/C'F,得GD=24/√41.
所以sin∠DBG=GD/BD=3/√41
(3)由DG⊥△BC'F,DF⊥BF,知∠C'FD即为二面角D-BE-C,
由(2)中所述可得,sin∠C'FD=GD/DF=5/√41,则cos∠C'FD=4/√41.
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