导数的公式证明
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/30 20:17:01
导数的公式证明
这是高数一(上)复合函数求导定理的完整证明
定理:如果u=g(x)在点x可导,而y=f(u)在点u=g(x)可导,则复合函数y=f[g(x)]在点x可导,则其导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)或dy/dx=dy/du·(du/dx)
证明:由于y=f(u)在点u可导,因此
lim△y/△u=f'(u)存在
于是根据极限与无穷小的关系有△y/△u=f'(u)+a,
其中a是△u→0时的无穷小,上式中△u不等于0,用△u乘上式两边,得△y=f'(u)·△u+a·△u (1)
当△u=0时,规定a=0,这时因△y=f(u+△u)-f(u)=0,(1)式右端也为0.(1)式对故△u=0也成立,用△x不等于0除以上式两边得:
△y/△x=f'(u)△u/△x+a△u/△x
于是lim△y/△x=lim[f'(u)△u/△x+a△u/△x] (△x→0)
根据函数在某点可导必在改点连续的性质知道,当△x→0时,△u→0,从而可以推知lim(△u→0)a=lim(△x→0)a=0
又因u=g(x)在点x处可导,有lim(△x→0)△u/△x=g'(x),
故lim(△x→0)△y/△x=f'(u)lim(△x→0)△u/△x,
即dy/dx=f'(u)g'(x)=f'(g(x))·g'(x)
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