作业帮已知实数A,B,C满足A²+B²=1,B²+C²=2,C²+A²=2,则AB+BC+CA的最小值为
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 19:57:56
已知实数A,B,C满足A²+B²=1,B²+C²=2,C²+A²=2,则AB+BC+CA的最小值为
由A²+B²=1,
B²+C²=2,
C²+A²=2,
三式相加：2A²+2B²+2C²=5,
∴A²+B²+C²=5/2
得A²=1/2,B²=1/2,C²=3/2,
∴A=±√2/2,B=±√2/2,C=±√6/2,
设AB+BC+CA=k,2AB+2BC+2CA=2k,
∴A²+B²+C²+2AB+2BC+2CA=5/2+2k,
2k=（A+B+C)²-5/2,
k=（A+B+C)²/2-5/4
a+b+c离0最近
（a+b+c)^2 = (-√(3/2) + √2)² = 7/2 - 2√3
所以k的最小值=（7/2 - 2√3）/2 -5/4
= 1/2 - √3
A²+B²=1
=> (A-B)^2 + 2AB = 1
B²+C²=2
=> (B-C)^2 +2BC = 2
C²+A²=2
=> (C-A)^2 +2AC = 2
max when A=B=C
2AB =1
2BC = 2
2AC = 2
max AB+BC+CA = 1/2 + 1 + 1
= 5/2
由a²+b²=1，
b²+c²=2，
c²+a²=2，
三式相加：2a²+2b²+2c²=5，
∴a²+b²+c²=5/2
得a²=1/2，b²=1/2，c²=3/2，
∴a=±√2/2，b=±√2/2...
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由a²+b²=1，
b²+c²=2，
c²+a²=2，
三式相加：2a²+2b²+2c²=5，
∴a²+b²+c²=5/2
得a²=1/2，b²=1/2，c²=3/2，
∴a=±√2/2，b=±√2/2，c=±√6/2，
设ab+bc+ca=k，2ab+2bc+2ca=2k，
∴a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=5/2+2k，
2k=（a+b+c）²-5/2，
k=（a+b+c)²/2-5/4
将a=√2/2，b=√2/2，c=√6/2代入：（取得最大值）
k=（√2+√6/2）²/2-5/4
=（2+3/2+2√3）/2-5/4
=（4+3+4√3-5）/4
=1/2+√3为最大值。
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