作业帮求131的13次方+132的14次方+133的15次方除以13的余数是几?求131的13次方+132的14次方+133的15次方的和除以13的余数是几？
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 20:17:44
求131的13次方+132的14次方+133的15次方除以13的余数是几?
求131的13次方+132的14次方+133的15次方的和除以13的余数是几？
2的6次方除以13余12,或称-1
3的3次方除以13余1
131的13次方+132的14次方+133的15次方的和除以13的余数
= 1的13次方+2的14次方+3的15次方的和除以13的余数
= 1 + (2^6)^2 * 2^2 + (3^3)^5 除以13的余数
= 1 + (-1)^2 * 4 + 1^5 除以13的余数
= 1 + 4 + 1 除以13的余数
= 6
分析由二项式展开公式（杨辉三角）可知对于(a+b)^n的展开式中只有首尾两项分别是a^n、b^n。中间各项都含有字母因式a、b(显然中间各项能被a、b整除；首相能被a整除；尾项能被b整除)，这样问题就可以简化了。
131^13+132^14+133^15
=(130+1)^13+(130+2)^14+(130+3)^15
显然按二项式展开后各项中只有：1^13、2^14、3...
全部展开
分析由二项式展开公式（杨辉三角）可知对于(a+b)^n的展开式中只有首尾两项分别是a^n、b^n。中间各项都含有字母因式a、b(显然中间各项能被a、b整除；首相能被a整除；尾项能被b整除)，这样问题就可以简化了。
131^13+132^14+133^15
=(130+1)^13+(130+2)^14+(130+3)^15
显然按二项式展开后各项中只有：1^13、2^14、3^15不能被13整除。
余数=1^13+2^14+3^15与13相除后的余数
=1 + (2^4)^3 * 2^2 + (3^3)^5 除以13的余数
=1 + 4(13+3)^3 + (26+1)^5 除以13的余数
=1+4×3^3+1^5除以13的余数
=1+4×(26+1)+1除以13的余数
=1+4+1除以13的余数
=6
收起