一道关于积分的题~请写出详细过程~谢谢~已知: z(x)=∫(0到无穷大)t^(x-1)*e^(-t)dt1. 证明当x0时,z(x)汇聚2. 证明z(1)=13. 证明当x〉0时,z(x + 1) = x*z(x) 4. 证明当n为大于或等于2的整数时,z(n) = (n
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/16 09:35:20
一道关于积分的题~请写出详细过程~谢谢~
已知: z(x)=∫(0到无穷大)t^(x-1)*e^(-t)dt
1. 证明当x0时,z(x)汇聚
2. 证明z(1)=1
3. 证明当x〉0时,z(x + 1) = x*z(x)
4. 证明当n为大于或等于2的整数时,z(n) = (n − 1)!
请写出详细的过程,谢谢~如果答案正确详细的话,我会至少追加100分的~
能不能写出思路,就是每一步是怎么想到的~
1.将z(x)=∫(0到无穷大)t^(x-1)*e^(-t)dt 分为(0,1)(1,+∞)2部分积分
在0,1上,e^(-t)
这个是gamma函数啊,性质很多用处很大,建议找资料仔细看看。
这几个是最初步的性质,证明简单写一下:
1.这个积分在正无穷显然收敛,在0处等价于对t^(x-1)积分,所以对于x<=0,积分发散,x>0,积分收敛。
2.积分e^(-t)即可。
3.分部积分,U=t^x,V=e^(-t)。注意符号。
4.由2.3即可得。
补充:思路的话,收敛...
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这个是gamma函数啊,性质很多用处很大,建议找资料仔细看看。
这几个是最初步的性质,证明简单写一下:
1.这个积分在正无穷显然收敛,在0处等价于对t^(x-1)积分,所以对于x<=0,积分发散,x>0,积分收敛。
2.积分e^(-t)即可。
3.分部积分,U=t^x,V=e^(-t)。注意符号。
4.由2.3即可得。
补充:思路的话,收敛还是发散只要看无穷处就行,然后找相应位置积分函数的等价函数,或者比他大/小的函数,然后判断。
第二题没什么好说的,直接求出来
3,4两题看到题目就会想到递归或归纳,然后利用积分变形就可以了
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