关于高等数学曲率的一点疑问,为什么曲率要用da/ds呢?直接用da/dx也可以表示极小距离上曲线导数的变化率.而用da/ds还要求一个弧微分,公式也更麻烦.是不是有什么别的含义呢?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/28 16:20:00
关于高等数学曲率的一点疑问,
为什么曲率要用da/ds呢?直接用da/dx也可以表示极小距离上曲线导数的变化率.而用da/ds还要求一个弧微分,公式也更麻烦.是不是有什么别的含义呢?
圆弧的弯曲程度是处处一样的,即是一个常数,所以予以定义是有意义的,这就是曲率.圆弧的曲率被定义为单位弧长所对的弧度,数值上等于圆弧半径的倒数.半径较小的圆弧确实弯得更急,即曲率更大,所以这样定义的曲率是合理的.
一般曲线的弯曲程度不是处处相等的,故定义整体曲率没有意义,但曲线在某点处的弯曲程度具有内秉性,予以定义是有意义的,显然把它定义为曲线在该点的密切圆的曲率是自然合理的.
那么密切圆是什么呢?我们先看切线是什么——切线是极限弦.弦是连接曲线上两点的线段,当两点非常接近时,弦用来代替所夹曲线,这是一种最朴素的逼近.让我们来改进这个逼近:在曲线上取很近的3点,作连结这3点圆弧(当然是劣弧),用圆弧来代替那段曲线,因为圆弧是仅次于直线的简单曲线.当3点无穷接近时,就得到极限圆弧,沿圆弧画出的极限圆就是密切圆.
这样定义的曲线曲率,用微分公式表示当然是da/ds,即单位弧长所弯的弧度.
显然,曲率是曲线的内秉几何量,即与坐标系的选取无关,而da/dx就不是,它显然是相对于坐标系的一个量.
dx是依赖坐标系的变化的,ds反映的是曲线本身的特性,与坐标无关
关于高等数学曲率的一点疑问,为什么曲率要用da/ds呢?直接用da/dx也可以表示极小距离上曲线导数的变化率.而用da/ds还要求一个弧微分,公式也更麻烦.是不是有什么别的含义呢?
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