线性代数,1.关于A的n次方的矩阵的求法,2.关于矩阵乘法,3.关于逆矩阵的求法.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/06 03:29:16
线性代数,1.关于A的n次方的矩阵的求法,2.关于矩阵乘法,3.关于逆矩阵的求法.
求一个m阶矩阵A的n次方的常用方法:
1.利用相似.若A与B相似,则存在可逆矩阵P使得P^(-1)AP=B,则A^n=PB^nP^(-1).为了简化运算,所求与A相似的矩阵B一般是对角矩阵或A的Jordan标准形:
(1)对角矩阵:即B=diag{λ1,λ2,...,λm},两个对角矩阵相乘仍是对角矩阵,且对角线上每一个元素为对应的两个矩阵相应位置元素的乘积;
(2)Jordan标准形:则B为分块对角矩阵,主对角上的每一块为一个Jordan块,它可以表示为aE与形如
[0 1 0 ...0 0]
[0 0 1 ...0 0]
[.........]
[0 0 0 ...0 1]
[0 0 0 ...0 0](记为C)的矩阵之和的形式,若Jordan块M=aE+C,则M^n=(aE+C)^n,按二项式定理展开,由于C(若C为s阶)为幂零指数为S的幂零矩阵(即C^s=0,C^(s-1)不等于0),剩下的项通常较少.分别计算出每一个Jordan块的n次方,再将主对角上对应的每一个块阵相乘.
2.直接利用二项式定理展开.类似于上面的方法,如果A可以直接表示为一个对角矩阵与C的和,则可以直接通过A^n=(aE+C)^n用二项式定理展开.
3.利用数学归纳法.如果A的阶数是不定的、A中的元素不是常数、A是抽象的,通常采用数学归纳法.先写出前几项A、A^2、A^3...,试着找一找规律,再用数学归纳法证明你的结论.
线性代数,1.关于A的n次方的矩阵的求法,2.关于矩阵乘法,3.关于逆矩阵的求法.
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