作业帮从0~9这十个数字中,任取3个数字组成一个无重复数字的三位数,这个数不能被3整除的概率是多少
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/23 15:37:17
从0~9这十个数字中,任取3个数字组成一个无重复数字的三位数,这个数不能被3整除的概率是多少
从0到9这十个数字中任取3个数字组成一个没有重复的三位数
共可组成 9*9*8 = 648 个.（注 百位数字不可以是0）
然后把 1-9 分成3组
A:1 4 7
B:2 5 8
C:3 6 9
首先计算由这9个数组成的可以被3 整除的数 有多少个.
A组的三个数字任意排列可以组成被3 整除的数字.
共有 P(3,3) = 3*2*1 = 6
同理 B和C组也可各构成6个数字能被3整除.
以上共计 18个数字 可以被3 整除.
从A、B、C组中任意选1个数字,由这3个数字均可构成被3整除的数
共有 C(3,1)*C(3,1)*C(3,1)*P(3,3) = 3*3*3 * 3*2*1 = 162个
以上合计 共有 18+162=180个数字可被3整除.
下面再考虑含有0的三位数.
在C组中任意选出2个数字,均可与0构成 能被3整除的三位数
共有 C(3,2)*[P(3,3)-P(2,2)]=3*(3*2*1 - 2*1)= 12 个
它们分别是 306 309 360 390 603 609 630 690 903 906 930 960
C(3,2)表示从 3 6 9 共3个数字中抽取2个数字的方法数
P(3,3)表示 0 与上面抽出的2个数字 共3个数字 进行排列的种类数
P(2,2)表示 在上面的排列中,0 被排在百位情况下的种类数.
A、B组中任意选一个,均可以与0构成能被3整除的三位数字
共有 C(3,1)*C(3,1)*[P(3,3)-P(2,2)] = 3*3 *(3*2*1-2*1)= 36个.
以上合计 180+12+36=228.即 648个数字中有228个数可以被3整除.不能被3整除的数字的个数是 648-228 = 420.
因此所求概率为：420/648 = 35/54
这个数不能被3整除的概率是
1-(P(3,3)*(3+3*3*3)+(C(3,2)+3*3)*2*P(2,2))/(9*9*8)
=1-(6*30+12*2*2)/(9*9*8)
=1-(15+2*2)/(9*6)
=1-19/54
=35/54
反过来考虑：这个数能被3整除的概率，设为abc
a+b+c=0(mod3)
a=b=c=0或1或2（mod3)或a、b、c分别模3余0（0、3、6、9）、1（1、4、7）、2（2、5、8）
第一种：3P3+3P3+4P3-6=30
第二种：4*3*3*6-3*3*2=198
总共：9*9*8=648
故题设所求为：（648-30-198）/648=3...
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反过来考虑：这个数能被3整除的概率，设为abc
a+b+c=0(mod3)
a=b=c=0或1或2（mod3)或a、b、c分别模3余0（0、3、6、9）、1（1、4、7）、2（2、5、8）
第一种：3P3+3P3+4P3-6=30
第二种：4*3*3*6-3*3*2=198
总共：9*9*8=648
故题设所求为：（648-30-198）/648=35/54
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