已知数列{an}的前n项和Sn=aⁿ+b(a≠0且a≠1),探求数列{an}为等比数列的充要条件,并证明结论.

已知数列{an}的前n项和Sn=aⁿ+b(a≠0且a≠1),探求数列{an}为等比数列的充要条件,并证明结论.

当 n>=2 时,因为 an=Sn-S(n-1)=(a^n+b)-[a^(n-1)+b]=a^(n-1)*(a-1) ,
a(n+1)=S(n+1)-Sn=[a^(n+1)+b]-(a^n+b)=a^n*(a-1) ,
所以 a(n+1)/an=a 为定值 .
由于 a1=S1=a+b,a2=S2-a1=(a^2+b)-(a+b)=a(a-1) ,
因此 当 a2/a1=a ,即 b= -1 时,数列为等比数列 .
反之,若 b= -1 ,则 a1=a-1 ,
当 n>=2 时,an=Sn-S(n-1)=(a^n-1)-[a^(n-1)-1]=(a-1)*a^(n-1) ,
所以,｛an｝是以 a-1 为首项,以 a 为公比的等比数列.
由此可得,｛an｝为等比数列的充要条件为：b= -1 .