作业帮求函数f(x)=(1/4)^x-(1/2)^x+1在x∈[-3,2]上的值域请证明一下单调性
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 12:34:36
求函数f(x)=(1/4)^x-(1/2)^x+1在x∈[-3,2]上的值域
请证明一下单调性
用换元法解答简便
f(x)=(1/4)^x-(1/2)^x+1=[(1/2)^x]^2-(1/2)^x+1
令a=(1/2)^x,因为x属于[-3,2],所以a属于[0.25,8]
所以f(a)=a^2-a+1=(a-0.5)^2+0.75
所以f(a)在[0.25,0.5)单调递减,即f(x)在(1,2]单调递减
f(a)在(0.5,8]单调递增,即f(x)在[-3,1)单调递增
当a=0.5时,f(a)有最小值0.75,此时x=1
当a=8时,f(a)有最大值57,此时x=-3
所以f(x)值域为[0.75,57]
f(x)=(1/4)^x-(1/2)^x+1
=((1/2)^x-1/2)^2+3/4
f(1)=3/4
f(-3)=57
f(2)=13/16
f(x)在x∈[-3,2]上的
f max=57
f min=3/4
f(x)在x∈[-3,2]上的值域[3/4,57]
我不知道X的值有没有平方~~~~如果没有可能是：
化简f（X）=（1/4）X-（2/4）X+1
= -（1/4）X+1
因为：k=-（1/2）所以函数 f（X）是减函数且是一次函数
当X=-3时 最大值f(X)= -（1/4）·（-3）+1=（7/4）
当X=2时 最小值f(X)= -（1/4）·2+1=（1/2）
...
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我不知道X的值有没有平方~~~~如果没有可能是：
化简f（X）=（1/4）X-（2/4）X+1
= -（1/4）X+1
因为：k=-（1/2）所以函数 f（X）是减函数且是一次函数
当X=-3时 最大值f(X)= -（1/4）·（-3）+1=（7/4）
当X=2时 最小值f(X)= -（1/4）·2+1=（1/2）
所以函数在定义域里的值域为；[1/2，7/4]
若(1/4)^x的意思是（1/4）的X次方~~~那
设(1/2)^x为Q (1/4)^x=Q^2 x∈[-3,2]
Q∈[1/4,8]
所以f（X）Q^2-Q+1=0 是二元一次方程
对称轴是1/2 定义域在同一侧 方程开口向上
当Q=1/4时 最大值f(X)= 13/16
当Q=8时 最大值f(X)= 57
所以函数在定义域里的值域为；[13/16,57]
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