求三重积分,被积函数是x²+y,积分区域是z=x²+y²,z=4所围之立体,不要只给出答案

求三重积分,被积函数是x²+y,积分区域是z=x²+y²,z=4所围之立体,不要只给出答案

所以D的范围为0

被积函数分为两部分，后一部分关于y是奇函数，被积区域关于zox面对称，这部分积分值为零。
设D：{(x,y)︱0<=x^2+y^2<=4}
原积分=∫∫D∫ (x^2)dzdxdy
=∫∫D (x^2)z| dxdy
=∫∫D (x^2)(4-(x^2+y^2)) dxdy
=∫<0,2π>∫<0,2> (r^2...

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被积函数分为两部分，后一部分关于y是奇函数，被积区域关于zox面对称，这部分积分值为零。
设D：{(x,y)︱0<=x^2+y^2<=4}
原积分=∫∫D∫ (x^2)dzdxdy
=∫∫D (x^2)z| dxdy
=∫∫D (x^2)(4-(x^2+y^2)) dxdy
=∫<0,2π>∫<0,2> (r^2cos^2 θ)(4-r^2)rdrdθ
=[∫<0,2π>cos^2θdθ][ ∫<0,2> r^3(4-r^2)dr]
由于∫<0,2π>cos^2θdθ =4∫<0,π/2>cos^2θdθ =4×(1/2)×(π/2)=π
∫<0,2> r^3(4-r^2)dr=∫<0,2>(4r^3-r^5 )dr=[r^4-r^6/6]|<0,2>=16/3
原积分=16π/3

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