矩阵As*n,Bn*m,证明rank(AB)>=rank(A)+rank(B)-n

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/24 01:06:32

矩阵As*n,Bn*m,证明rank(AB)>=rank(A)+rank(B)-n

考察关于矩阵秩的问题,最好把它和线性变换关联起来.容易得到如下结论：


若矩阵A为空间Vm到Vn的线性变换,那么rank(A) = dim(img(A)) = dim(Vm) - dim(ker(A)),这里img为映射的像ker为核.


题主的问题可以考察为：

Vm -> Vn -> Vs

其中Vx表示x维线性空间,第一个映射表示B对应的线性变换,第二个表示A对应的线性变换.

我们考察复合映射：

AB: Vm -> Vs

我们知道rank(AB)为Vs中像V的维数,易知V = V'/(V'∩ker(A))这里V'为B的像,所以dim(V) >= dim(V') - dim(ker(A)) = rank(B) + rank(A) - n.


有疑问,可追问.

矩阵As*n,Bn*m,证明rank(AB)>=rank(A)+rank(B)-n 设A、B分别是s*n,n*m矩阵,证明：rank(ab）=rank(a)+rank(b)-n 设A,B,C分别为m*n,n*s,s*t矩阵,证明rank(B)+rank(ABC)>rank(AB)+rank(BC) A、B是n阶矩阵,证明：rank(AB)>=rank(A)+rank(B)-n 证明 设A,B分别是s*n,n*m矩阵,如果AB=0,则rank(A)+rank(B) 设A是m*n的实矩阵,且rank(A)=n,证明A^T A是正定矩阵 设A是n阶矩阵,证明：rank{A+E}+rank{A-E}>=n. 设A B都为n级矩阵,证明不等式!rank(I-AB)≤rank(I-A)+rank(I-B) 线性代数证明rank（AT*A)=rank（A）如题 AT是A的转置 A是m*n矩阵 设A.B都是n级矩阵,证明:如果AB＝BA=0,且rank(A²)＝rank(A),那么rank(A+B)=rank(A)+rank(B) 如何用矩阵相抵证明 rangk（AB）>rank(A)+rank(B)-n （A、 B是矩阵,n是A的列数 也就是B 的行数） A,B是s*n矩阵,证明rank（A+B)≤rankA+rankB 高等代数,矩阵运算A为nxn矩阵,A∧2=A,证明：rank(A)+rank(A-E)=n 满秩矩阵相乘的秩?要证明：当且仅当存在满秩矩阵X：m*p 和Y：n*p,且A=X*Y'时,矩阵A的秩是p.show that a matrix A,m×n is of rank p if and only if there exists a full-rank matrixX,m×p and a full-rank matrix Y,n×p such that A n阶矩阵B,A满足rank(BA)=rank(A),那么BAX=0与AX=0同解吗?怎么证明? 有关矩阵的秩:证明：rank(A,B) 酋矩阵的性质问题U为m*m维酋矩阵,T为m*n维一般复数矩阵,满不满足 Rank(U*T)=Rank(T),如果满足简略说明下,证明亦可!酋矩阵的定义为：U的共轭矩阵乘以U = U乘以 U的共轭矩阵=m维单位矩阵 矩阵为幂等矩阵的充要条件已知一个n阶矩阵A满足rank(A)+rank(E-A)=n,其中E为n阶单位矩阵,怎么证明A是幂等矩阵,也即证明A^2=A