已知函数f(x)=x^2+4x,(x≥0);4x-x^2,(x<0).若f(2-a)>f(a),则实数a的取值范围是?注意一下是f(2-a)>f(a)的情况,不是f(2-a^2)>f(a)……

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/28 17:52:23

已知函数f(x)=x^2+4x,(x≥0);4x-x^2,(x<0).若f(2-a)>f(a),则实数a的取值范围是?
注意一下是f(2-a)>f(a)的情况,不是f(2-a^2)>f(a)……

由题,f(x)=x^2+4x,(x≥0);4x-x^2,(x<0)
可得,f(x)=-f(-x),
所以f(x)是奇函数,
而 f(x)=x^2+4x,(x≥0)的极值点在x=-2处,
而 f(x)=4x-x^2,(xf(a)时,
则有,2-a>a,
即,a

这是个分段函数,可以先分段把函数图象画出来。看似复杂,画完后就能看出f(x)在R上是单增的。所以很容易得到原命题的等价条件:2-a>a,解得a<1.

作出y=x²+4x的图象,截取x≥0的部分
现作出y=-x²+4x的图象,截取x<0的部分
两段图象合起来就是f(x)的图象,由图象可知f(x)是增函数
因f(2-a)>f(a)
故2-a>a 解得a<1

(1)a<0时,则2-a>0,所以f(2-a)=a^2-8a+12,f(a)=-a^2+4a,
所以f(2-a)>f(a),即a^2-8a+12>-a^2+4a,整理得:a^2-6a+6>0,
得:a>3+√3,或a<3-√3,又因为a<0,
所以:a<0;
(2)0≦a≦2时,2-a>0,所以f(...

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(1)a<0时,则2-a>0,所以f(2-a)=a^2-8a+12,f(a)=-a^2+4a,
所以f(2-a)>f(a),即a^2-8a+12>-a^2+4a,整理得:a^2-6a+6>0,
得:a>3+√3,或a<3-√3,又因为a<0,
所以:a<0;
(2)0≦a≦2时,2-a>0,所以f(2-a)=a^2-8a+12,f(a)=a^2+4a
所以f(2-a)>f(a),即a^2-8a+12>a^2+4a,解得:a<1,又因为0≦a<2,
所以:0≦a<1;
(3)a>2时,则2-a<0,所以f(2-a)=-a^2+4,f(a)=a^2+4a;
所以f(2-a)>f(a),即-a^2+4>a^2+4a,整理得:2a^2+4a-4<0,
解得:-1-√32,而-1+√3约等于0.732
所以:a属于空集;
综上:实数a的取值范围是:a<1
希望能帮到你,如果不懂,请Hi我,祝学习进步!

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