椭圆问题(这题网上容易搜到):急切希望有这题的几何做法!已知椭圆C:x2 a2 + y2 b2 =1(a>b>0)的离心率为3 2 ,且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0).(1)求椭圆方程;(2)若直线l

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/24 05:13:37

椭圆问题(这题网上容易搜到):急切希望有这题的几何做法!
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为
3
2
,且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0).
(1)求椭圆方程;
(2)若直线l:x=t(t>2)与x轴交于点T,P为l上异于T的任一点,直线PA1、PA2分别与椭圆交于M、N两点,试问直线MN是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论.

不太可能有纯粹平面几何的做法.

按照题设作出的弦MN过焦点当且仅当直线l是椭圆的准线.要证明这一点,等价于证明:

对于任意过焦点的弦CD,直线A1C与A2D的交点必在准线上.

后面这个命题依赖于如下事实:

任给过椭圆焦点F的弦CD,则1/CF+1/DF是定值.

最后这个命题的证明,本质上依赖于椭圆的极坐标表示

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