如何求函数f（x）=（2sinx-2cosx+3)\(sinx+2cosx)的最小值?

如何求函数f（x）=（2sinx-2cosx+3)\(sinx+2cosx)的最小值?

设 y=（2sinx-2cosx+3)\(sinx+2cosx) 2sinx-2cosx+3=y(sinx+2cosx)
(y-2)sinx+(2y+2)cosx=3 由辅助角公式 得 √[(y-2)^2+(2y+2)^2]sin(x+θ)=3
sin(x+θ)=3/√[(y-2)^2+(2y+2)^2] 由三角函数的有界性得
|3/√[(y-2)^2+(2y+2)^2]|≤1 (y-2)^2+(2y+2)^2≥9 5y^2+4y-1≥0
(y+1)(5y-1)≥0 解得 y≤-1 y≥1/5
函数f（x）=（2sinx-2cosx+3)\(sinx+2cosx)的最小值为1/5