如果关于x的方程(x²-8x+m)(X²-8x+n)=0的四个根可组成首相为1的等差数列,那么m+n的值是?

如果关于x的方程(x²-8x+m)(X²-8x+n)=0的四个根可组成首相为1的等差数列,那么m+n的值是?

x=1是方程的根,由对称性不妨设x=1是方程x²-8x+m=0的根.
x=1代入方程：
1-8+m=0 m=7
方程变为x²-8x+7=0
(x-1)(x-7)=0
x1=1或x2=7
设x²-8x+n=0的两根分别为x3,x4.由韦达定理得
x1+x2=8
x3+x4=8
x3+x4=x1+x2,x3、x4是等差数列的中间两项,x1=1是首项,x2=7是末项.设等差数列公差为d.
x2-x1=3d=7-1=6 d=2
x3=x1+2=1+2=3 x4=x3+2=3+2=5
由韦达定理得n=x3x4=3×5=15
m=7 n=15
m+n=7+15=22

x²-8x+m=0两根之和x1+x2=8，x1*x2=m
X²-8x+n=0两根之和x3+x4=8，x3*x4=n
首相为1的等差数列，设x1=1，那么x1+x2=8，x2=7，首相1，尾7那么，公差d=（7-1）/（4-1）=2
x3=3，x4=5
m=7,n=15