作业帮已知f(x)是定义R上的函数,且满足f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),f(1)=2,求f(2013)的值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 12:45:10
已知f(x)是定义R上的函数,且满足f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),f(1)=2,求f(2013)的值
显然1-f(x)≠0
所以 f(x+2) = [1+f(x)]/[1-f(x)]
另有 f(x) = [1+f(x-2)]/[1-f(x-2)]
将下式代入上式,解得f(x+2) = -1/f(x-2)
而f(x+6) = -1/f(x+2)
得到f(x+6)=f(x-2),以8为周期
f(2013)=f(8*251+5)=f（3）
由 f(x+2) = [1+f(x)]/[1-f(x)]得：
f（3）=f（1+2）=[1+f(1)]/[1-f(1)]=（1+2）/（1-2）=-3
先写出几项，写到第8项得出规律，四个一循环，显然得答案为1/2。
也可以用数学归纳法。
显然1-f(x)≠0
f(x+2) = [1+f(x)]/[1-f(x)]……（1）
f(x) = [1+f(x-2)]/[1-f(x-2)]……（2）
将（2）的f（x）代入（1）：
解得f(x+2) = -1/f(x-2)
f(x+6) = -1/f(x+2)
所以f(x+6)=f(x-2)，以8为周期
f(2013)...
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显然1-f(x)≠0
f(x+2) = [1+f(x)]/[1-f(x)]……（1）
f(x) = [1+f(x-2)]/[1-f(x-2)]……（2）
将（2）的f（x）代入（1）：
解得f(x+2) = -1/f(x-2)
f(x+6) = -1/f(x+2)
所以f(x+6)=f(x-2)，以8为周期
f(2013)=f(8*251+5)=f（3）
由 f(x+2) = [1+f(x)]/[1-f(x)]得：
f（3）
=f（1+2）
=[1+f(1)]/[1-f(1)]
=（1+2）/（1-2）
=-3
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