作业帮在离心率为e的椭圆X^2/A^2+Y^2/B^2=1(A>B>0)上恒存在点P使PF1的中垂线L过点F2（其中F1,F2为椭圆焦点）（1）求证：1/3
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/16 00:08:33
在离心率为e的椭圆X^2/A^2+Y^2/B^2=1(A>B>0)上恒存在点P使PF1的中垂线L过点F2（其中F1,F2为椭圆焦点）
（1）求证：1/3
1.P在椭圆上,且根据题意,PF1的中垂线通过点F2
故,|PF2|=|F1F2|(线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等)
根据椭圆第一定义,有：|PF1|+|PF2|=2a
而显然有|F1F2|=2c,于是|PF2|=2c
故:|PF1|=2a-|PF2|=2a-|F1F2|=2a-2c
1°当P,F1,F2三点共线时,通过图像可列出几何关系：
|PF1|=|PF2|+|F1F2|（P肯定在F2相对F1的另外一侧）
代入几个数值,可得：2a-2c=2c+2c
c/a=1/3
即,椭圆离心率为e=1/3
2°当P,F1,F2三点不共线时,则三点必然构成△PF1F2,根据三角形定理“三角形两边之和大于第三边”,有不等式：
|PF1|1/3
结合1°2°两种情况,又根据椭圆的定义e0,故焦点在x轴上),相应的F2就是椭圆右焦点
根据条件：直线L与y轴的交点G恰好是△PF1F2的重心,无疑,根据重心含义,可知,PG所在直线必过P点对边F1F2的中点,而显然,F1F2中点肯定是原点O(0,0),故,P,G,O三点共线!,而G亦在y轴上,∴P必在y轴上!（实际上就是椭圆在y轴上的顶点）
根据椭圆关于y轴的对称性,易证明|PF1|=|PF2|,再结合第一问易证明的|PF2|=|F1F2|,可知△PF1F2的三边均相等,故,△PF1F2是等边三角形,其边长与面积的关系易得出是：
S△PF1F2=(√3/4)*|F1F2|^(当然也可以用另外两边表示)
已知S△PF1F2=√3
|F1F2|=2
即：2c=|F1F2|=2
c=1
而第一问已知:|PF1|=2a-2c,|PF2|=2c
2a-2c=2c
a=2c=2*1=2
故,椭圆标准方程的b^=a^-c^=3
椭圆方程由此得出是：x^/4 +y^/3=1
鉴于椭圆的对称性,可知无论L的倾斜角是正还是负,都不会影响其被椭圆所截得的弦长,∴不妨设L倾斜角为负（其实应该正的更好做,可是偶做的时候画图是负的,就按照负的来做了,不好意思~）则,P点必是椭圆在y轴正半轴上的顶点,易求出是:P(0,√3),即OP=√3
而,G为△PF1F2重心,由重心性质可知：OG=OP/3=√3/3
∴G(0,√3/3)
结合椭圆右焦点F2(1,0),很容易根据两点式求出经过F2,G两点的直线L的方程是：
y=(-√3/3)x+(√3/3)
（当然,也可求出PF2的中点,然后根据F2和这个点求出同样的L的方程；还有另一种方法可直接求出L的斜率：∵△PF1F2是等边三角形,∴∠PF2F1=60°,F2G根据三线合一的定理很容易判断出是∠PF2F1的角平分线,故∠F1F2G=30°,鉴于已设L斜率为负,故其倾斜角是(180°-30°)=150°,相应的斜率就易求出是k=tan150°=-√3/3.无论是哪种求法,都需要最大程度的数形结合起来进行运算才能够更省力,请楼主注意!）
这样,联立L :y=(-√3/3)x+√3/3,与椭圆方程：x^/4+y^/3=1,消去y,可得到关于x的一元二次方程为：
13x^-8x-32=0
设L与椭圆交于C(x1,y1),D(x2,y2)
则x1,x2必为此方程的两个不等实根,有：
x1+x2=8/13
x1*x2=-32/13
L被椭圆所截得的弦长在x轴上投影的长度可求出是：
|x1-x2|=√[(x1+x2)^-4x1*x2]=24√3/13
(当然也可套用|x1-x2|=√△/a 同样得出)
于是,弦长d的长度就是：（以下的k为直线L的斜率√3/3）
d=√(1+k^)*|x1-x2|=√[1+(√3/3)^]*24√3/13=48/13