已知:函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d在(-∞,0)是增函数,在(0,2)是减函数,且方程f(x)=0有三个根,从小到大依次为m,2,n.求|m-n|的取值范围.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/24 07:13:13
已知:函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d在(-∞,0)是增函数,在(0,2)是减函数,且方程f(x)=0有三个根,从小到大依次为m,2,n.求|m-n|的取值范围.
函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d在(-∞,0)是增函数,在(0,2)是减函数,
可知x=0是f'(x)=0的根
f'(x)=3x^2+2bx+c=0
c=0
故:f(x)=x^3+bx^2+d
又2是f(x)=0的根,得:4b+d=-8
由于f(x)=0有三个根
设f(x)=(x-m)(x-2)(x-n)
=x^3-(2+m+n)x^2+(1m+2n+mn)x-2mn
则b=-2-m-n,d=-2mn
|m-n|^2=(m+n)^2-4mn=(b+2)^2+2d
=(b+2)^2-2(4b-8)
=(b-2)^2-16
因f'(x)=3x^2+2bx=0的两个根是x1=0,x2=-2b/3
在(0,2) 上减,故-2b/3≥2,b≤-3
故 |m-n|^2≥9
|m-n|≥3
f'(x)=3x^2+2bx+c
f'(0)=c=0
f'(2)=12+4b+c≤0
f(2)=8+4b+2c+d=0
得
b≤-3,c=0,d=-8-4b
f(x)=x^3+bx^2-8-4b=(x-2)(x^2+(b+2)x+2b+4)
|m-n|=√(b^2-4b-12)=√[(b-2)^2-16]≥3
故|m-n|的取值范围为(3,+∞)
已知函数f(x)={上面是-x^3+x^2+bx+c(x
已知函数f(x)={上面是-x^3+x^2+bx+c(x
已知函数f(x)=x2+2bx+c(c
已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c 讨论函数f(x)的奇偶性
已知函数f(x)=2x^2+bx+c,不等式f(x)
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已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,且不等式f(x)
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已知函数f(x)=2x∧2+bx+c/(x∧2+1) (b
导数,分类讨论已知函数f(x)= -e^2x+bx+c,x
已知函数f(x)=x^2+2bx+c (c
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