作业帮已知圆C过点(-4,0)和(4,0),且被直线l:x+y=4截得的弦长为4根号2,(1)求圆C的方程（2）当点F(0,2)在圆C的内部时,过点F作直线l1交圆C与A,B两点,交X轴于点M,若MA=λ1A1F,MB=λ2BF求证λ1+λ2为定值（MA,AF,MB,BF为
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 04:18:18
已知圆C过点(-4,0)和(4,0),且被直线l:x+y=4截得的弦长为4根号2,
(1)求圆C的方程
（2）当点F(0,2)在圆C的内部时,过点F作直线l1交圆C与A,B两点,交X轴于点M,
若MA=λ1A1F,MB=λ2BF求证λ1+λ2为定值（MA,AF,MB,BF为向量）
(1)∵圆C过点(-4,0)和(4,0)
∴圆心C在(-4,0)和(4,0)的中垂线上,即y轴上
设圆心C坐标为(0,a)
则半径的平方为：r²=(0-4)²+(a-0)²=a²+16
而圆心C的直线x+y-4=0的距离d=|0+a-4|/√(1²+1²)=|a-4|/√2
r²=d²+(2√2)²=(a-4)²/2+8=a²/2-4a+16
即a²/2-4a+16=a²+16
a²/2+4a=0
a²+8a=0
a(a+8)=0
a=0 或 a=-8
若a=0,则r²=16,圆C的方程为：x²+y²=16
若a=-8,则r²=80,圆C的方程为：x²+(y+8)²=80
(2)∵点F(0,2)在圆C的内部
而0²+2²=480
∴此时圆C的方程是：x²+y²=16
分类讨论：
①直线l1斜率不存在,即x=0交圆于点A(0,4)和点B(0,-4),交x轴于点M(0,0)
向量MA=(0,4),向量MB=(0,-4),向量AF=(0,-2),向量BF=(0,6)
则MA=-2AF,MB=(-2/3)BF
即λ1=-2,λ2=-2/3
λ1+λ2=-2-2/3=-8/3
②直线l1斜率存在,设直线方程为：y=kx+2
设点A坐标为(x1,y1),点B坐标为(x2,y2),点M坐标为(-2/k,0)
向量MA=(x1+2/k,y1),向量MB=(x2+2/k,y2)
向量AF=(-x1,2-y1) ,向量BF=(-x2,2-y2)
∵MA=λ1AF,MB=λ2BF
即x1+2/k=λ1(-x1)
x2+2/k=λ2(-x2)
λ1=(x1+2/k)/(-x1)=-1-2/(kx1)
λ2=(x2+2/k)/(-x2)=-1-2/(kx2)
联立y=kx+2与x²+y²=16
x²+(kx+2)²=16
(k²+1)x²+4kx-12=0
x1,x2是方程的2个根,根据韦达定理：
x1+x2=-4k/(k²+1) x1·x2=-12/(k²+1)
则λ1+λ2
=-1-2/(kx1)-1-2/(kx2)
=-2-2(x2+x1)/(kx1x2)
=-2-2[-4k/(k²+1)]/[-12k/(k²+1)]
=-2-8/12
=-2-2/3
=-8/3
∴λ1+λ2为定值-8/3