求证伪:f(x)=xcosx是周期函数

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2020/02/25 16:51:23

求证伪:f(x)=xcosx是周期函数

假设T为周期,则一个周期[0,T]内其最大值显然不超过T
但当X=2KPi时 f(x)=2kPi ,显然在 k为整数且k>T/2时,f(X)的最大值大于T.矛盾.

用反证法,如果f(x)=xcosx是周期函数,T是f(x)的周期,且是正数,则对任意x, 有(x+T)cos(x+T)=xcos(x),取x=0,有TcosT=0,于是cosT=0,又取x=2π,有(2π+T)cos(2π+T)=2πcos(2π),于是有(2π+T)cosT=0=2π,因为0不等于2π,有矛盾,所以f(x)=xcosx不是周期函数

求导后,发现极值时的间隔不相同,即找不到这样的T使得f(x)=f(x+T)